Methode van Newton-Raphson

Schrijver: Leandro Alegsa

28-12-2022

De methode van Newton biedt een manier om de echte nulpunten van een functie te vinden. Dit algoritme wordt soms de Newton-Raphson-methode genoemd, naar Sir Isaac Newton en Joseph Raphson.

De methode gebruikt de afgeleide van de functie om de wortels te vinden. Er moet een eerste "gokwaarde" voor de plaats van het nulpunt worden gemaakt. Uit deze waarde wordt een nieuwe gok berekend met deze formule:

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}} $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

Hierbij is x_n de initiële gok en x_n+1 de volgende gok. De functie f (waarvan het nulpunt wordt opgelost) heeft de afgeleide f'.

Door deze formule herhaaldelijk toe te passen op de gegenereerde gissingen (dat wil zeggen door de waarde van x_n op de uitgang van de formule te zetten en opnieuw te berekenen), zal de waarde van de gissingen een nul van de functie benaderen.

De methode van Newton kan grafisch worden uitgelegd door te kijken naar snijpunten van raaklijnen met de x-as. Eerst wordt een raaklijn aan de f op x_n berekend. Vervolgens wordt het snijpunt van deze raaklijn met de x-as gevonden. Tenslotte wordt de x-positie van dit snijpunt genoteerd als de volgende gok, x_n+1 .

De functie (blauw) wordt gebruikt om de helling van een raaklijn (rood) op xn te berekenen.

Problemen met de methode van Newton

De methode van Newton kan snel een oplossing vinden als de beginwaarde voldoende dicht bij de gewenste wortel begint. Wanneer de beginwaarde echter niet dichtbij is, en afhankelijk van de functie, kan de methode van Newton het antwoord langzaam of helemaal niet vinden.

Gerelateerde pagina's

Stelling van Kantorovitsj (Verklaring over de convergentie van de methode van Newton, gevonden door Leonid Kantorovitsj)

Vragen en antwoorden

V: Wat is de methode van Newton?

A: De methode van Newton is een algoritme om de echte nulpunten van een functie te vinden. Het gebruikt de afgeleide van de functie om de wortels te berekenen, en vereist een initiële gokwaarde voor de locatie van de nul.

V: Wie heeft deze methode ontwikkeld?

A: De methode werd ontwikkeld door Sir Isaac Newton en Joseph Raphson, vandaar dat zij soms de methode Newton-Raphson wordt genoemd.

V: Hoe werkt dit algoritme?

A: Dit algoritme werkt door herhaaldelijk een formule toe te passen die een initiële gokwaarde (xn) neemt en een nieuwe gokwaarde (xn+1) berekent. Door dit proces te herhalen, zullen de gissingen een nulpunt van de functie benaderen.

V: Wat is er nodig om dit algoritme te gebruiken?

A: Om dit algoritme te gebruiken, moet u een initiële "gokwaarde" hebben voor de plaats van het nulpunt en kennis over de afgeleide van de gegeven functie.

V: Hoe kan de Methode van Newton grafisch worden uitgelegd?

Antwoord: We kunnen de Methode van Newton grafisch uitleggen door te kijken naar snijpunten van raaklijnen met de x-as. Eerst wordt een raaklijn aan f bij xn berekend. Vervolgens zoeken we het snijpunt van deze raaklijn met de x-as en noteren we de x-positie ervan als onze volgende gok - xn+1.

V: Zijn er beperkingen bij het gebruik van de methode van Newton?

A: Ja, als uw eerste gokwaarde te ver verwijderd is van de werkelijke wortel, kan het langer duren of zelfs niet naar de wortel convergeren door schommelingen eromheen of divergentie ervan.