Priemgetalstelling
De stelling van het priemgetal is een stelling uit de getaltheorie. Priemgetallen zijn niet gelijkmatig over het getallengebied verdeeld. De stelling formaliseert het idee dat de kans op het vinden van een priemgetal tussen 1 en een bepaald getal kleiner wordt naarmate de getallen groter worden. Deze kans is ongeveer n/ln(n), waarbij ln(n) de natuurlijke logaritmische functie is. Dit betekent dat de kans om een priemgetal te vinden met 2n cijfers ongeveer half zo groot is als met n cijfers. Bijvoorbeeld, onder de positieve gehele getallen van ten hoogste 1000 cijfers is ongeveer één op 2300 priemgetallen (ln 101000 ≈ 2302.6), terwijl onder positieve gehele getallen van ten hoogste 2000 cijfers ongeveer één op 4600 priemgetallen is (ln 102000 ≈ 4605.2). Met andere woorden, het gemiddelde verschil tussen opeenvolgende priemgetallen onder de eerste N gehele getallen is ruwweg ln(N).
De vijftienjarige Carl Friedrich Gauss vermoedde in 1793 dat er een verband bestond tussen priemgetallen en logaritmen. Adrien-Marie Legendre vermoedde ook zo'n verband in 1798. Jacques Hadamard en Charles-Jean de La Vallée Poussin bewezen de priemgetal-theorema in 1896, meer dan een eeuw na Gauss.
Vragen en antwoorden
V: Wat is de stelling van priemgetallen?
A: De priemgetaltheorema is een stelling uit de getaltheorie die uitlegt hoe priemgetallen verdeeld zijn over het getallenbereik.
V: Zijn priemgetallen gelijkmatig verdeeld over het getallenbereik?
A: Nee, priemgetallen zijn niet gelijkmatig verdeeld over het getallenbereik.
V: Wat formaliseert de stelling van priemgetallen?
A: De priemgetaltheorema formaliseert het idee dat de kans op het vinden van een priemgetal tussen 1 en een bepaald getal kleiner wordt naarmate de getallen groter worden.
V: Wat is de kans op een priemgetal tussen 1 en een gegeven getal?
Antwoord: De kans op een priemgetal tussen 1 en een gegeven getal is ongeveer n/ln(n), waarbij ln(n) de natuurlijke logaritmefunctie is.
V: Is de kans op een priemgetal met 2n cijfers groter dan de kans op een priemgetal met n cijfers?
A: Nee, de kans op een priemgetal met 2n cijfers is ongeveer half zo groot als met n cijfers.
V: Wie bewees de stelling van de priemgetallen?
A: Jacques Hadamard en Charles-Jean de La Vallée Poussin bewezen de stelling van de priemgetallen in 1896, meer dan een eeuw nadat Gauss in 1793 een verband vermoedde tussen priemgetallen en logaritmen.
V: Wat is het gemiddelde verschil tussen opeenvolgende priemgetallen onder de eerste N gehele getallen?
A: Het gemiddelde verschil tussen opeenvolgende priemgetallen van de eerste N gehele getallen is ongeveer ln(N).
