Een Hilbert-ruimte is een wiskundig concept dat het extra-dimensionale gebruik van de Euclidische ruimte omvat, d.w.z. een ruimte met meer dan drie dimensies. Een Hilbert-ruimte gebruikt de wiskunde van twee en drie dimensies om te proberen te beschrijven wat er in meer dan drie dimensies gebeurt. Het is vernoemd naar David Hilbert.
Vectoralgebra en calculus zijn methoden die normaal gesproken worden gebruikt in het tweedimensionale Euclidische vlak en de driedimensionale ruimte. In Hilbert ruimtes kunnen deze methoden gebruikt worden met elk eindig of oneindig aantal dimensies. Een Hilbert-ruimte is een vectorruimte die de structuur heeft van een binnenproduct waarmee lengte en hoek kunnen worden gemeten. Hilbert ruimtes moeten ook compleet zijn, wat betekent dat er genoeg grenzen moeten zijn om te kunnen rekenen.
De vroegste Hilbert-velden werden in het eerste decennium van de 20e eeuw bestudeerd door David Hilbert, Erhard Schmidt en Frigyes Riesz. John von Neumann bedacht voor het eerst de naam "Hilbert Space". Hilbert ruimtevaartmethoden maakten een groot verschil in de functionele analyse.
Hilbert ruimtes komen veel voor in de wiskunde, natuurkunde en techniek, vaak als oneindig-dimensionale functieruimtes. Ze zijn vooral nuttig voor het bestuderen van partiële differentiaalvergelijkingen, kwantummechanica, Fourier-analyse (met inbegrip van signaalverwerking en warmteoverdracht). Hilbert ruimtes worden gebruikt in de ergodische theorie die de wiskundige basis is van de thermodynamica. Alle normale Euclidische ruimtes zijn ook Hilbert-ruimtes. Andere voorbeelden van Hilbert ruimtes zijn ruimtes met vierkant integreerbare functies, ruimtes met sequenties, Sobolev ruimtes die bestaan uit gegeneraliseerde functies, en Hardy ruimtes met holomorfe functies.
