Hilbertruimte

Een Hilbert-ruimte is een wiskundig concept dat het extra-dimensionale gebruik van de Euclidische ruimte omvat, d.w.z. een ruimte met meer dan drie dimensies. Een Hilbert-ruimte gebruikt de wiskunde van twee en drie dimensies om te proberen te beschrijven wat er in meer dan drie dimensies gebeurt. Het is vernoemd naar David Hilbert.

Vectoralgebra en calculus zijn methoden die normaal gesproken worden gebruikt in het tweedimensionale Euclidische vlak en de driedimensionale ruimte. In Hilbert ruimtes kunnen deze methoden gebruikt worden met elk eindig of oneindig aantal dimensies. Een Hilbert-ruimte is een vectorruimte die de structuur heeft van een binnenproduct waarmee lengte en hoek kunnen worden gemeten. Hilbert ruimtes moeten ook compleet zijn, wat betekent dat er genoeg grenzen moeten zijn om te kunnen rekenen.

De vroegste Hilbert-velden werden in het eerste decennium van de 20e eeuw bestudeerd door David Hilbert, Erhard Schmidt en Frigyes Riesz. John von Neumann bedacht voor het eerst de naam "Hilbert Space". Hilbert ruimtevaartmethoden maakten een groot verschil in de functionele analyse.

Hilbert ruimtes komen veel voor in de wiskunde, natuurkunde en techniek, vaak als oneindig-dimensionale functieruimtes. Ze zijn vooral nuttig voor het bestuderen van partiële differentiaalvergelijkingen, kwantummechanica, Fourier-analyse (met inbegrip van signaalverwerking en warmteoverdracht). Hilbert ruimtes worden gebruikt in de ergodische theorie die de wiskundige basis is van de thermodynamica. Alle normale Euclidische ruimtes zijn ook Hilbert-ruimtes. Andere voorbeelden van Hilbert ruimtes zijn ruimtes met vierkant integreerbare functies, ruimtes met sequenties, Sobolev ruimtes die bestaan uit gegeneraliseerde functies, en Hardy ruimtes met holomorfe functies.


Hilbert ruimtes kunnen worden gebruikt om de harmonieën van trillende snaren te bestuderen.Zoom
Hilbert ruimtes kunnen worden gebruikt om de harmonieën van trillende snaren te bestuderen.

Vragen en antwoorden

V: Wat is een Hilbert-ruimte?


A: Een Hilbert-ruimte is een wiskundig concept dat de wiskunde van twee en drie dimensies gebruikt om te proberen te beschrijven wat er gebeurt in meer dan drie dimensies. Het is een vectorruimte met een binnenproductstructuur waarmee lengte en hoek kunnen worden gemeten, en die ook volledig moet zijn om te kunnen rekenen.

V: Wie heeft het begrip Hilbert-ruimten genoemd?


A: Het begrip Hilbert-ruimten werd voor het eerst bestudeerd in het begin van de 20e eeuw door David Hilbert, Erhard Schmidt en Frigyes Riesz. John von Neumann was degene die de naam "Hilbert-ruimte" bedacht.

V: Wat zijn enkele toepassingen van Hilbert-ruimten?


A: Hilbert-ruimten worden gebruikt op vele gebieden, zoals wiskunde, natuurkunde, techniek, functionele analyse, partiële differentiaalvergelijkingen, kwantummechanica, Fourier-analyse (waaronder signaalverwerking en warmteoverdracht), ergodische theorie (de wiskundige basis van de thermodynamica), kwadratisch-integreerbare functies, reeksen, Sobolev-ruimten van veralgemeende functies, Hardy-ruimten van holomorfe functies.

V: Worden alle normale Euclidische ruimten ook beschouwd als Hilbertruimten?


A: Ja - alle normale Euclidische ruimten worden ook beschouwd als Hilbertruimten.

V: Hoe hebben Hilbertruimten een verschil gemaakt voor functionele analyse?


A: Het gebruik van Hilbert-ruimten heeft een groot verschil gemaakt voor de functionele analyse door nieuwe methoden te verschaffen voor het bestuderen van problemen op dit gebied.

V: Van welk type wiskunde moet men kennis hebben als men met een Hilbert Ruimte werkt?



A: Vectoralgebra en calculus worden gewoonlijk gebruikt wanneer men werkt met een tweedimensionaal Euclidisch vlak of een driedimensionale ruimte; deze methoden kunnen echter ook worden gebruikt met elk eindig of oneindig aantal dimensies wanneer men werkt met een Hilbert Ruimte.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3