Fourier transformeren

De Fourier-transformatie is een wiskundige functie die gebruikt kan worden om de basisfrequenties te vinden die een signaal of een golf vormen. Als er bijvoorbeeld een akkoord wordt gespeeld, kan de geluidsgolf van het akkoord worden ingevoerd in een Fourier-transformatie om de tonen te vinden waaruit het akkoord is gemaakt. De uitgang van een Fourier-transformatie wordt ook wel een frequentiespectrum of -verdeling genoemd, omdat deze een spectrum van de frequenties van de ingang weergeeft. Deze functie heeft vele toepassingen in cryptografie, oceanografie, machinaal leren, radiologie, kwantumfysica en ook in geluidsontwerp en visualisatie.

De Fourier-transformatie van een functie f ( x ) {\playstyle f(x)}f(x) wordt gegeven door

F ( α ) = ∫ - ∞ + ∞ f ( x ) e - 2 π i α x d x {displaystyle F(\alpha )=in _{-fty }^^+fty }f(x)e^{-2\pi i \alpha x}dx} {\displaystyle F(\alpha )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-2\pi i\alpha x}dx}

Alfa {\displaystyle \alpha }is een frequentie...

F {\displaystyle F(\alpha )}is de Fourier-transformatiefunctie en geeft een waarde terug die aangeeft hoe vaak de frequentie α {\displaystyle \alpha }in het oorspronkelijke signaal voorkomt.

e - 2 π i α x {\\\\\\alpha x} {\displaystyle e^{-2\pi i\alpha x}}Vertegenwoordigt het omwikkelen van de invoerfunctie f ( x ) f(x)rond de oorsprong in het complexe vlak op een bepaalde frequentie α {displaystyle f(x)}. {\displaystyle \alpha }

De omgekeerde Fourier-transformatie wordt gegeven door

f ( x ) = ∫ - ∞ + ∞ F ( α ) e + 2 π i x α d α {displaystyle f(x)=int __F(\alpha )e^{+2pi ixalpha }ddalpha }. {\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }F(\alpha )e^{+2\pi ix\alpha }d\alpha }

Een Fourier-transformatie laat zien welke frequenties in een signaal zitten. Denk bijvoorbeeld aan een geluidsgolf die drie verschillende muzieknoten bevat: A, B en C. Als je een grafiek maakt van de Fourier-transformatie van deze geluidsgolf (met de frequentie op de x-as en de intensiteit op de y-as) zal er bij elke frequentie een piek verschijnen die overeenkomt met een van de muzieknoten.

Veel signalen kunnen worden gecreëerd door cosinussen en sinussen met verschillende amplitudes en frequenties bij elkaar op te tellen. De Fourier-transformatie zet de amplitudes en fasen van deze cosinussen en sinussen uit tegen hun respectievelijke frequenties.

Fourier transformaties zijn belangrijk omdat veel signalen meer zin hebben wanneer hun frequenties worden gescheiden. In het audio voorbeeld hierboven is het niet duidelijk dat de tonen A, B en C in het signaal zitten als je naar het signaal kijkt met betrekking tot de tijd. Veel systemen doen verschillende dingen met verschillende frequenties, dus dit soort systemen kunnen worden beschreven door wat ze met elke frequentie doen. Een voorbeeld hiervan is een filter dat hoge frequenties blokkeert.

Het berekenen van een Fourier-transformatie vereist inzicht in integratie en denkbeeldige getallen. Computers worden meestal gebruikt om Fourier-transformaties te berekenen van alles behalve de eenvoudigste signalen. De Fast Fourier Transformatie is een methode die computers gebruiken om snel een Fouriertransformatie te berekenen.

·        

Originele functie die een signaal toont dat oscilleert bij 3 hertz.

·        

Echte en denkbeeldige delen van integrand voor Fourier transformeren op 3 hertz

·        

Echte en denkbeeldige delen van integrand voor Fourier transformeren op 5 hertz

·        

Fourier transformeren met 3 en 5 hertz gelabeld.

AlegsaOnline.com - 2020 - License CC3