In de kansrekening en statistiek zijn de centrale limietstellingen, afgekort CLT, stellingen over het grensgedrag van samengevoegde kansverdelingen. Zij zeggen dat gegeven een groot aantal onafhankelijke willekeurige variabelen, hun som een stabiele verdeling zal volgen. Als de variantie van de willekeurige variabelen eindig is, resulteert dit in een Gaussische verdeling. Dit is een van de redenen waarom deze verdeling ook wel normale verdeling wordt genoemd.
De bekendste en belangrijkste hiervan staat bekend als het centrale limiettheorema. Het gaat om grote aantallen willekeurige variabelen met dezelfde verdeling, elk met een identieke eindige variantie en verwachte waarde.
Meer specifiek, als X 1 , ... , X n {\displaystyle X_{1},\ldots,X_{n}}}
n identieke en onafhankelijk verdeelde willekeurige variabelen zijn met gemiddelde μ {\displaystyle \mu }
en standaardafwijking σ {\displaystyle \sigma }. 
, dan is de verdeling van hun steekproefgemiddelde, ( X 1 + ⋯ + X n ) / n {{displaystyle (X_{1}+{cdots +X_{n})/n} , naarmate het aantal n groter wordt, bij benadering gelijk aan het gemiddelde. 
als n groot wordt, is bij benadering normaal met gemiddelde μ {mu } en standaardafwijking σ n {tfrac {sigma }{sqrt {n}}}}
. Bovendien is de verdeling van hun som, X 1 + ⋯ + X n {{displaystyle X_{1}+{cdots +X_{n}} 
naarmate n groter wordt, is ook ongeveer normaal, met gemiddelde n μ {\mu }
en standaardafwijking n σ {\sqrt {n}}. 
.
Er bestaan verschillende generalisaties van deze stelling. Sommige van deze generalisaties vereisen niet langer een identieke verdeling van alle willekeurige variabelen. In deze generalisaties zorgt een andere voorwaarde ervoor dat geen enkele willekeurige variabele een grotere invloed heeft op de uitkomst dan de andere. Voorbeelden hiervan zijn de voorwaarden van Lindeberg en Lyapunov.
De naam van de stelling is gebaseerd op een artikel van George Pólya uit 1920, Over de Centrale Limiet Stelling in de Waarschijnlijkheidstheorie en het Momentprobleem.
Vragen en antwoorden
V: Wat is de stelling van de centrale limiet?
A: De stelling van de centrale limiet (CLT) is een stelling over het grensgedrag van geaggregeerde kansverdelingen. Het stelt dat gegeven een groot aantal onafhankelijke willekeurige variabelen, hun som een stabiele verdeling zal volgen. Als de variantie van de willekeurige variabelen eindig is, resulteert dit in een Gaussische verdeling.
V: Wie schreef het artikel waarop deze stelling is gebaseerd?
A: George Pَlya schreef in 1920 het artikel "About the Central Limit Theorem in Probability Theory and the Moment Problem", dat als basis diende voor deze stelling.
V: Welk type verdeling ontstaat wanneer alle willekeurige variabelen een eindige variantie hebben?
A: Als alle willekeurige variabelen een eindige variantie hebben, resulteert de toepassing van CLT in een Gaussische of normale verdeling.
V: Zijn er generalisaties van CLT?
A: Ja, er zijn verschillende generalisaties van CLT die niet langer een identieke verdeling van alle willekeurige variabelen vereisen. Deze generalisaties omvatten de voorwaarden van Lindeberg en Lyapunov, die ervoor zorgen dat geen enkele willekeurige variabele meer invloed heeft op het resultaat dan andere.
V: Hoe werken deze veralgemeningen?
A: Deze veralgemeningen zorgen ervoor dat geen enkele willekeurige variabele meer invloed heeft op het resultaat dan andere door extra voorwaarden vooraf in te voeren, zoals de voorwaarden van Lindeberg en Lyapunov.
V: Wat zegt CLT over het steekproefgemiddelde en de som van grote aantallen onafhankelijke willekeurige variabelen met dezelfde verdeling?
A: Volgens CLT, als n identieke en onafhankelijk verdeelde willekeurige variabelen met gemiddelde ى {\mu } en standaardafwijking َ {\sigma}. dan zal hun steekproefgemiddelde (X1+...+Xn)/n bij benadering normaal zijn met gemiddelde ى {\displaystyle \mu } en standaardafwijking َ/√n {\displaystyle {\tfrac {\sigma }{qrt {n}}}} . Verder zal hun som X1+...+Xn ook bij benadering normaal zijn met gemiddelde nى {\mu } en standaardafwijking √nَ {\sigma }. .
