Convexe regelmatige 4-polytoop
In de wiskunde is een convexe regelmatige 4-polytoop (of polychoron) een 4-dimensionale (4D) polytoop die zowel regelmatig als convex is. Het zijn de vier-dimensionale analoga van de Platonische vaste lichamen (in drie dimensies) en de regelmatige veelhoeken (in twee dimensies).
Deze polytopen werden voor het eerst beschreven door de Zwitserse wiskundige Ludwig Schläfli in het midden van de 19e eeuw. Schläfli ontdekte dat er precies zes van zulke figuren zijn. Vijf daarvan kunnen worden beschouwd als hoger dimensionale analogen van de Platonische veelvlakken. Er is één extra figuur (de 24-cel) die geen driedimensionaal equivalent heeft.
Elke convexe regelmatige 4-polytoop wordt begrensd door een stel 3-dimensionale cellen die alle Platonische vaste lichamen zijn van hetzelfde type en dezelfde grootte. Deze zijn langs hun respectieve zijvlakken op regelmatige wijze in elkaar gepast.
Eigenschappen
De volgende tabellen geven enkele eigenschappen van de zes convexe regelmatige veelchora. De symmetriegroepen van deze polychora zijn alle Coxeter groepen en gegeven in de notatie beschreven in dat artikel. Het getal achter de naam van de groep is de orde van de groep.
| Namen | Familie | Schläfli | Vertices | Randen | Gezichten | Cellen | Hoekpuntcijfers | Dubbele polytoop | Symmetriegroep | |
| Pentachoron5-celpentatopehyperpyramidehypertetrahedron4-simplex | simplex | {3,3,3} | 5 | 10 | 10 | 5tetraëders | tetraëders | (self-dual) | A4 | 120 |
| Tesseractoctachoron8-cellhypercube4-cube | hyperkubus | {4,3,3} | 16 | 32 | 24 | 8 | tetraëders | 16-cel | B4 | 384 |
| kruispolytoop | {3,3,4} | 8 | 24 | 32 | 16tetraëder | octaëders | tesseract | B4 | 384 | |
| Icositetrachoron24-celloctaplexpolyoctahedron | {3,4,3} | 24 | 96 | 96 | 24octahedra | (self-dual) | F4 | 1152 | ||
| Hecatonicosachoron120-celligedodecaplexhyperdodecahedronpolydodecahedron | {5,3,3} | 600 | 1200 | 720 | 120dodecahedra | tetraëders | 600-cel | H4 | 14400 | |
| Hexacosichoron600-celltetraplexhypericosaëderpolytetraëder | {3,3,5} | 120 | 720 | 1200 | 600 tetraëders | icosaëders | 120-cel | H4 | 14400 | |
Aangezien de grenzen van elk van deze figuren topologisch gelijkwaardig zijn aan een 3-bol, waarvan de Eulerkarakteristiek nul is, hebben we het 4-dimensionale analogon van Eulers veelvlakkige formule:
N 0 - N 1 + N 2 - N 3 = 0 {Displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0},} 
waarbij Nk het aantal k-gezichten in de polytoop is (een hoekpunt is een 0-gezicht, een rand is een 1-gezicht, enzovoort).
Visualisaties
De volgende tabel toont enkele 2-dimensionale projecties van deze polytopen. Verschillende andere visualisaties zijn te vinden op de andere websites hieronder. De Coxeter-Dynkin diagrammen zijn ook gegeven onder het Schläflisymbool.
| 5-cel | 8-cel | 24-cel | 120-cel | 600-cel | |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
|
|
|
|
|
|
|
| Wireframe orthografische projecties binnen Petrie polygonen. | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Volvlak orthografische projecties | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Wireframe Schlegel diagrammen (Perspectief projectie) | |||||
|
|
|
|
|
|
|
| Draadmodel stereografische projecties (Hypersferisch) | |||||
|
|
|
|
|
|
|
Verwante pagina's
- Regelmatige polytoop
- Platonisch vast lichaam
Vragen en antwoorden
V: Wat is een convexe regelmatige 4-polytoop?
A: Een convexe regelmatige 4-polytoop is een 4-dimensionale polytoop die zowel regelmatig als convex is.
V: Wat zijn de analogieën van convexe regelmatige 4-polytopen in drie en twee dimensies?
A: De analoga van convexe regelmatige 4-polytopen in drie dimensies zijn de Platonische vaste lichamen, terwijl zij in twee dimensies de regelmatige veelhoeken zijn.
V: Wie beschreef voor het eerst convexe regelmatige 4-polytopen?
A: De Zwitserse wiskundige Ludwig Schläfli beschreef voor het eerst convexe regelmatige 4-polytopen in het midden van de 19e eeuw.
V: Hoeveel convexe regelmatige 4-polytopen zijn er?
A: Er zijn precies zes convexe regelmatige 4-polytopen.
Vraag: Wat is de unieke eigenschap van de 24-cellige polytoop onder de convexe regelmatige 4-polytopen?
A: Het 24-cel polytoop heeft geen driedimensionaal equivalent onder de convexe regelmatige 4-polytopen.
V: Wat zijn de 3-dimensionale cellen die elke convexe regelmatige 4-polytoop begrenzen?
Antwoord: Elke convexe regelmatige 4-polytoop wordt begrensd door een verzameling 3-dimensionale cellen die alle Platonische vaste lichamen van dezelfde soort en grootte zijn.
V: Hoe zitten de 3-dimensionale cellen in elkaar in een convexe regelmatige 4-polytoop?
A: In een convexe regelmatige 4-polytoop worden de 3-dimensionale cellen op regelmatige wijze langs hun respectieve vlakken in elkaar gepast.
