In de meetkunde is een Archimedisch veelvlak een convexe veelvlakvorm waarvan de zijvlakken bestaan uit regelmatige veelhoeken. Belangrijke kenmerken zijn:

  • Elk gezicht is een regelmatige veelhoek.
  • Alle hoekpunten (vertices) zijn onderling gelijk volgens de symmetrie van het veelvlak: het veelvlak is vertex-transitief — alle hoekpunten zien er hetzelfde uit.
  • De vorm is noch een platonisch vast lichaam, noch een prisma, noch een antiprisma. Met andere woorden: niet alle gezichten zijn identiek (zoals bij Platons lichamen), en het is geen eenvoudige prisma- of antiprismatische bouw.

Hoeveel zijn er?

Afhankelijk van de manier van tellen bestaan er 13 of 15 Archimedische veelvlakken. De gebruikelijke telling geeft 13 verschillende types; twee daarvan, de snub cube en de snub dodecahedron, zijn chirale (handige/links-rechts) vormen waarvoor er twee spiegelbeeldvarianten bestaan die niet door rotatie congruent gemaakt kunnen worden. Tel je die spiegelbeelden apart, dan kom je op 15.

Herkomst en geschiedenis

De naam verwijst naar de Oudgriekse wiskundige Archimedes, die deze vormen waarschijnlijk in de 3e eeuw v.Chr. beschreef. De oorspronkelijke geschriften zijn verloren, maar Pappus van Alexandrië gaf in de 4e eeuw samenvattingen. Tijdens de Renaissance werden deze vormen opnieuw bestudeerd doordat kunstenaars en wiskundigen waarde hechtten aan zuivere vormen. Johannes Kepler voltooide rond 1620 veel van de classificatie en beschrijving van deze veelvlakken.

Bouwmethoden en relaties

Veel Archimedische veelvlakken kunnen worden geconstrueerd door bewerkingen op Platonische lichamen: truncatie (afsnijden van hoekpunten), rectificatie (afsnijden tot middens van edgen) of de snub-bewerking (draaiing en herschikking van vlakken). Hun symmetriegroepen zijn afleidbaar van die van de onderliggende Platonische lichamen. De vormen zijn convex en voldoen aan de Euler-relatie V − E + F = 2.

Voorbeelden en toepassingen

Bekende voorbeelden zijn onder meer het truncated icosahedron (de vorm van een voetbal of het fullereen C60, ook wel “buckyball” genoemd), de cuboctahedron, de icosidodecahedron, en meerdere truncaties en uitgebreide varianten van de vijf Platonsche lichamen. Archimedische veelvlakken komen voor in architectuur, kunst, kristallografie en scheikunde (bijvoorbeeld in de structuur van bepaalde moleculen en fullerenen).

Dualen

De duale veelvlakken van de Archimedische veelvlakken vormen een aparte familie: de Catalan-lichamen. Die zijn meestal niet regelmatig wat de gezichten betreft, maar hebben wel de symmetrieën die overeenkomen met de Archimedische vormen.

Overzicht van de 13 standaard Archimedische veelvlakken

  • Truncated tetrahedron
  • Cuboctahedron
  • Truncated cube
  • Truncated octahedron
  • Rhombicuboctahedron
  • Truncated cuboctahedron (great rhombicuboctahedron)
  • Snub cube (chiraal)
  • Icosidodecahedron
  • Truncated dodecahedron
  • Truncated icosahedron
  • Rhombicosidodecahedron
  • Truncated icosidodecahedron (great rhombicosidodecahedron)
  • Snub dodecahedron (chiraal)

Om een Archimedisch veelvlak te construeren zijn ten minste twee verschillende regelmatige veelhoeken nodig: dat onderscheidt deze lichamen van de Platonische lichamen (waar alle gezichten gelijk zijn) en van eenvoudige prisma's/antiprismata.

Samengevat: Archimedische veelvlakken zijn rijke, symmetrische en goed bestudeerde ruimtelijke figuren — geen Platonische lichamen, geen prisma's/antiprismata — met fraaie toepassingen in wetenschap en kunst.