e is een belangrijke wiskundige constante met een waarde van ongeveer 2,71828182845904523536. Het getal wordt vaak het getal van Euler genoemd (naar de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler) of de constante van Napier (naar de Schotse wiskundige John Napier). Net als π en i speelt e een centrale rol in veel takken van de wiskunde.

Definitie en verschillende representaties

Er zijn meerdere equivalent manieren om e te definiëren; de meest gebruikte zijn:

  • Limiet: e = limn→∞ (1 + 1/n)n. Deze limiet verschijnt bij het model van samengestelde rente (zie geschiedenis).
  • Oneindige reeks (Machtreeks): e = ∑n=0∞ 1/n! = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ….
  • Algemene machtreeks: voor alle reële x geldt ex = ∑n=0∞ xn/n!.
  • Exponentiële limiet: voor reëel x geldt limn→∞ (1 + x/n)n = ex.

Wiskundige eigenschappen

  • Irrationaal en transcendent: e is een irrationaal getal (kan niet als breuk van twee gehele getallen worden geschreven) en bovendien is het transcendent: het is geen oplossing van een niet-triviale polynomiale vergelijking met gehele coëfficiënten.
  • Afgeleide en integraal: de functie ex heeft als bijzondere eigenschap dat de afgeleide gelijk is aan zichzelf: (d/dx) ex = ex. Daardoor is e de natuurlijke basis voor differentiaal- en integraalrekening. De inverse van de natuurlijke exponentiële functie is de natuurlijke logaritme ln(x), waarbij ln(e) = 1.
  • Complexe exponentiële functie: via de machtreeks kan de exponentiële functie worden uitgebreid naar complexe argumenten. Een beroemde relatie is Euler's identiteit: eiπ + 1 = 0, die vijf fundamentele wiskundige constanten verbindt.

Toepassingen

e verschijnt in vele gebieden:

  • Analyse en differentiaalvergelijkingen: oplossingen van lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten worden vaak uitgedrukt met ex.
  • Wiskundige modellering van groei en verval: continue groeiprocessen (bijv. populaties, radioactief verval, rente) gebruiken exponentiële functies met basis e.
  • Wiskundige statistiek en kansrekening: verdelingen zoals de normale en de Poisson-verdeling bevatten e in hun dichtheidsfuncties.
  • Complexe analyse en Fourier-theorie: de complexe exponentiële functie eix is essentieel voor het beschrijven van trilling en golven.
  • Financiën: continue samengestelde rente wordt beschreven met e: een initiële som P groeit na tijd t volgens P·ert bij rentevoet r.

Geschiedenis

Het getal e ontstond in de 17e eeuw toen de Zwitserse wiskundige Jacob Bernoulli onderzocht wat er gebeurt bij samengestelde rente als het aantal samenstellingen per jaar naar oneindig gaat; zo leidde hij tot de limiet (1 + 1/n)n. De naam en notatie e werden later populair gemaakt door Leonhard Euler, die het getal veel gebruikte en er uitgebreid over schreef. Al vroeg berekenden wiskundigen vele decimalen van e.

Benaderingen en cijfers

De decimale expansie van e begint met 2,71828182845904523536… . Dankzij moderne algoritmen en computers zijn miljarden cijfers van e bekend, maar e heeft geen periodieke of eindigende decimale representatie omdat het irrationaal is.

Samenvattend

e is de bijzondere constante die zowel theoretisch als praktisch van groot belang is: ze speelt een sleutelrol in exponentiële groei, differentiaalrekening, complexe analyse en vele toepassingen in natuur- en sociale wetenschappen. De verschillende definities (limieten, rijen en machtreeksen) geven telkens hetzelfde getal en benadrukken waarom e zo wijdverbreid en natuurlijk voorkomt in de wiskunde.