Imaginaire eenheid | een getalwaarde die alleen bestaat buiten de reële getallen

Imaginaire eenheden werden uitgevonden als antwoord op de veeltermvergelijking x 2 + 1 = 0 {displaystyle x^{2}+1=0}. , die normaal gesproken geen oplossing heeft (zie hieronder). De term "imaginair" komt van René Descartes en was beledigend bedoeld, want net als nul en negatieve getallen op andere momenten in de geschiedenis werden imaginaire getallen nutteloos geacht omdat ze niet natuurlijk zijn. Pas in latere eeuwen zou het werk van wiskundigen als Leonhard Euler, Augustin-Louis Cauchy en Carl Friedrich Gauss bewijzen dat imaginaire getallen zeer belangrijk waren voor sommige gebieden van de algebra.

Een algemene regel voor het vermenigvuldigen en delen van getallen is dat als de tekens verschillend zijn, het resultaat negatief is (bijvoorbeeld 4 × - 3 = - 12 {displaystyle 4=3=-12} ), maar als beide getallen hetzelfde teken hebben, is het resultaat positief (bijvoorbeeld 5 × 6 = 30 {displaystyle 5=6=30} en - 10 × - 10 = 100 {displaystyle -10=10=100} ). Dit leidt echter tot problemen met vierkantswortels van negatieven, omdat twee negatieve getallen altijd een positief getal vormen:

2 × 2 = 2 2 = 4 {\displaystyle 2=2^{2}=4}

dus 4 = 2 {Displaystyle {4}=2}

maar - 4 ≠ - 2 {\an5}.

als - 2 × - 2 = ( - 2 ) 2 = 4 {displaystyle -2=(-2)^{2}=4}

Om dit gat in de waarde op te vullen is de imaginaire eenheid gemaakt, die gedefinieerd is als i = - 1 {displaystyle i={{sqrt {-1}}} en i × i = i 2 = - 1 {displaystyle i=i^{2}=-1} . Met behulp van imaginaire getallen kunnen we ons laatste voorbeeld oplossen:

2 i × 2 i = 4 i 2 = - 4 {displaystyle 2i=4i^{2}=-4}

- 2 i × - 2 i = 4 i 2 = - 4 {displaystyle -2i=4i^{2}=-4}

4 = 2 en - 4 = 2 i.

 

Hoewel de imaginaire eenheid afkomstig is van het oplossen van een kwadratische vergelijking (een vergelijking waarbij de onbekende in het kwadraat verschijnt), kunnen we ons afvragen of we nieuwe getalwaarden moeten creëren zoals de imaginaire eenheid om vergelijkingen op te lossen waarbij hogere machten van x {displaystyle x} zoals x 3 {displaystyle x^{3}} en x 4 {displaystyle x^{4}} voorkomen. Bijvoorbeeld, de vergelijking x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} heeft een vierde macht van de onbekende variabele x {\displaystyle x} . Hebben we nieuwe eenheden zoals i nodig om deze vergelijking op te lossen?

We kunnen ook een soortgelijke vraag stellen: we moeten een nieuw getal maken om de vierkantswortel van -1 te vinden, en we noemen dit nieuwe getal i {displaystyle i} . Moeten we een nieuw getal maken om de vierkantswortel(s) van i {displaystyle i} te vinden?

Het antwoord op beide vragen blijkt nee te zijn. Voor de tweede vraag kunnen de vierkantswortels van i worden geschreven in termen van een reëel deel en een imaginair deel. Meer bepaald kunnen de vierkantswortels van i worden geschreven als: ± i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle \sqrt {i}}=\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)} . We kunnen controleren of dit werkelijk de vierkantswortels zijn van i {displaystyle i} door ze te kwadrateren en te kijken of we i {displaystyle i} krijgen:

We kunnen ook opmerken dat ( ± i ) 4 = ( i ) 2 = - 1 {\displaystyle (\displaystyle \sqrt {i}})^{4}=(i)^{2}=-1} , dus ± i {\displaystyle \sqrt {i}}} lost de vergelijking x 4 + 1 = 0 {\displaystyle x^{4}+1=0} op. en beantwoordt daarmee gedeeltelijk onze eerste vraag: voor de vergelijking x 4 + 1 = 0 {{4}+1=0}. zijn de oplossingen nog steeds complexe getallen (het resultaat van het optellen van een reëel getal en een imaginair getal). Er zijn nog twee oplossingen voor deze specifieke vergelijking, x = ± 2 2 ( 1 - i ) {displaystyle x=frac {sqrt {2}{2}}(1-i)} , en dat zijn ook complexe getallen. Er zijn geen nieuwe getallen zoals de imaginaire eenheid nodig om de vergelijking op te lossen.

In het algemeen kan elke vergelijking waarin de onbekende voorkomt met gehele getallen machten worden opgelost met complexe getallen, dus als we eenmaal de imaginaire eenheid kennen, kunnen we elke vergelijking van deze vorm oplossen. Dit resultaat is zo belangrijk dat het de fundamentele stelling van de algebra wordt genoemd.

De machten van i {{displaystyle i} of i {{displaystyle i} volgen een regelmatig en voorspelbaar patroon:

i - 4 = 1 {displaystyle i^{-4}=1}

i - 3 = i {Displaystyle i^{-3}=i}

i - 2 = - 1 {Displaystyle i^{-2}=-1}

i - 1 = - i {Displaystyle i^{-1}=-i}

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1}

i 1 = i {displaystyle i^{1}=i}

i 2 = - 1 {Displaystyle i^{2}=-1}

i 3 = - i {Displaystyle i^{3}=-i}

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1}

i 5 = i {Displaystyle i^{5}=i}

i 6 = - 1 {Displaystyle i^{6}=-1}

i 7 = - i {{7}=-i}

Zoals u ziet, vermenigvuldigen we telkens met een andere i {displaystyle i} de waarden 1 , i , - 1 , - i {displaystyle 1,i,-1,-i} en herhalen dan.

• Complex getal
• De identiteit van Euler
• Denkbeeldig getal
• Wiskundige constante
• Reëel getal