Imaginaire eenheid

In de wiskunde zijn denkbeeldige eenheden, of i, getallen die door middel van vergelijkingen kunnen worden weergegeven, maar die verwijzen naar waarden die in het echte leven fysiek niet zouden kunnen bestaan. De wiskundige definitie van een denkbeeldige eenheid is i = - 1 {\\\\rt } {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}die de eigenschap i × i = i 2 = - 1 heeft {\playstyle i=i^{2}=-1}{\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} .

De reden dat ik werd gecreëerd was om een veeltermvergelijking te beantwoorden, x 2 + 1 = 0 {\playstyle x^{2}+1=0} {\displaystyle x^{2}+1=0}die normaal gesproken geen oplossing heeft, omdat de waarde van x 2 {\playstyle x^{2}}{\displaystyle x^{2}} gelijk zou moeten zijn aan -1. Hoewel het probleem oplosbaar is, kon de vierkantswortel van -1 niet worden gerepresenteerd door een fysieke hoeveelheid objecten in het echte leven.

Vierkante wortel van i

Soms wordt aangenomen dat men een ander nummer moet creëren om de vierkantswortel van i aan te geven, maar dat is niet nodig. De vierkantswortel van i kan worden geschreven als: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\\\\rt {i}=pm {frac {2}{2}}(1+i}} {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}.
Dit kan worden weergegeven als:

2. {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ }

= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\\\frac {\frac }2}2 {\frac {2}}2+i}2 ^2 ^2 ^2} {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ }

= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\\\an8} ^2}{\frac {4}}(1+i)(1+i){\an8} {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ }

= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\frac {2}}(1+2i+i ^2}){\frac }(1+2i+i})\quad (i^2}=-1)} {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ }

= 1 2 ( 2 i ) {\\frac {1}{2}(2i}} {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ }

= ik speel speelstijl = ik speel {\displaystyle =i\ }



Bevoegdheden van i

De krachten van i volgen een voorspelbaar patroon:

i - 3 = i {\\\playstyle i^{-3}=i} {\displaystyle i^{-3}=i}

i - 2 = - 1 {\playstyle i^{-2}=-1} {\displaystyle i^{-2}=-1}

i - 1 = - i {\playstyle i^{-1}=-i} {\displaystyle i^{-1}=-i}

i 0 = 1 {\\\\\\\\\\=1} {\displaystyle i^{0}=1}

i 1 = i {\playstyle i^1}=i} {\displaystyle i^{1}=i}

i 2 = - 1 {\playstyle i^{2}=-1} {\displaystyle i^{2}=-1}

i 3 = - i {\playstyle i^{3}=-i} {\displaystyle i^{3}=-i}

i 4 = 1 {\playstyle i^4}=1} {\displaystyle i^{4}=1}

i 5 = i {\\\\\5}=i} {\displaystyle i^{5}=i}

i 6 = - 1 {\playstyle i^{6}=-1} {\displaystyle i^{6}=-1}

Dit kan worden weergegeven met het volgende patroon waarbij n een willekeurig geheel getal is:

i 4 n = 1 {\playstyle i^{4n}=1} {\displaystyle i^{4n}=1}

i 4 n + 1 = i {\playstyle i^{4n+1}=i} {\displaystyle i^{4n+1}=i}

i 4 n + 2 = - 1 {\playstyle i^{4n+2}=-1} {\displaystyle i^{4n+2}=-1}

i 4 n + 3 = - i {\playstyle i^{4n+3}=-i} {\displaystyle i^{4n+3}=-i}

Gerelateerde pagina's


AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3