Pi (wiskunde) | wiskundige constante die de verhouding is tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter

Grondbeginselen

Definitie

π wordt gewoonlijk gedefinieerd als de verhouding tussen de omtrek C en de diameter d van een cirkel:

π = C d . {π = C d .

Waarde bij benadering

Pi wordt vaak geschreven als π, of de Griekse letter π als afkorting. Pi is ook een irrationeel getal, wat betekent dat het niet kan worden geschreven als een breuk ( a b {over b} ), waarbij 'a' en 'b' gehele getallen zijn. Dit betekent in feite dat de cijfers van pi die rechts van de decimaal staan oneindig lang zijn zonder zich in een patroon te herhalen, en dat het onmogelijk is om de exacte waarde van pi als getal te schrijven. Pi kan alleen worden benaderd, of gemeten tot een waarde die voor praktische doeleinden dichtbij genoeg ligt.

Een waarde die dicht bij pi ligt is 3,141592653589793238462643... Een gebruikelijke breukbenadering van pi is 22/7. , wat ongeveer 3,14285714 oplevert. Deze benadering is 0,04% verwijderd van de werkelijke waarde van pi. Hoewel deze benadering wordt geaccepteerd voor het meeste gebruik in het echte leven, is de breuk 355 / 113 {displaystyle 355/113} nauwkeuriger (geeft ongeveer 3,14159292), en kan worden gebruikt wanneer een waarde dichter bij pi nodig is. Computers kunnen worden gebruikt om betere benaderingen van pi te krijgen.

In maart 2019 berekende Emma Haruka Iwao de waarde van pi tot 31,4 biljoen cijfers.

 
De omtrek van een cirkel is iets meer dan drie keer zo lang als de diameter. De exacte verhouding heet π .  


Een diagram dat laat zien hoe π kan worden gevonden met behulp van een cirkel met een diameter van één. De omtrek van deze cirkel is π.  

Geschiedenis

Wiskundigen weten al duizenden jaren over pi, omdat zij al even lang met cirkels werken. Beschavingen zo oud als de Babyloniërs zijn in staat geweest pi te benaderen tot vele cijfers, zoals de breuk 25/8 en 256/81. De meeste historici geloven dat de oude Egyptenaren geen begrip hadden van π, en dat de overeenkomst toeval is.

De eerste schriftelijke verwijzing naar pi dateert van 1900 voor Christus. Rond 1650 voor Christus gaf de Egyptenaar Ahmes een waarde in de Rhind Papyrus. De Babyloniërs konden ontdekken dat de waarde van pi iets groter was dan 3, door simpelweg een grote cirkel te maken en vervolgens een stuk touw op de omtrek en de diameter te plakken, de afstanden te noteren en vervolgens de omtrek door de diameter te delen.

De kennis van het getal pi ging terug naar Europa en kwam in handen van de Hebreeën, die het getal belangrijk maakten in een deel van de Bijbel dat het Oude Testament heet. Daarna was de meest gebruikelijke manier om pi te vinden het tekenen van een vorm met veel zijden binnen een willekeurige cirkel, en de oppervlakte van de vorm te gebruiken om pi te vinden. De Griekse filosoof Archimedes gebruikte bijvoorbeeld een veelhoek met 96 zijden om de waarde van pi te vinden, maar de Chinezen in 500 CE waren in staat om een veelhoek met 16.384 zijden te gebruiken om de waarde van pi te vinden. De Grieken, zoals Anaxagoras van Clazomenae, waren ook bezig met het ontdekken van andere eigenschappen van de cirkel, zoals het maken van kwadraten van cirkels en het kwadrateren van het getal pi. Sindsdien hebben veel mensen geprobeerd steeds exactere waarden van pi te achterhalen.

Een geschiedenis van pi
Filosoof	Datum	Harmonisatie
Claudius Ptolemaeus	rond 150 CE	3.1416
Zu Chongzhi	430-501 CE	3.1415929203
al-Khwarizmi	rond 800 CE	3.1416
al-Kashi	rond 1430	3.14159265358979
Viète	1540-1603	3.141592654
Roomen	1561-1615	3.14159265358979323
Van Ceulen	rond 1600	3.14159265358979323846264338327950288

In de 16e eeuw kwamen er steeds betere manieren om pi te vinden, zoals de ingewikkelde formule die de Franse jurist François Viète ontwikkelde. Het eerste gebruik van het Griekse symbool "π" was in een essay uit 1706 van William Jones.

Een wiskundige genaamd Lambert toonde in 1761 ook aan dat het getal pi irrationaal was, dat wil zeggen dat het volgens de normale normen niet als breuk kan worden geschreven. Een andere wiskundige, Lindeman genaamd, kon in 1882 ook aantonen dat pi deel uitmaakte van de groep getallen die transcendentalen worden genoemd; dat zijn getallen die niet de oplossing kunnen zijn van een veeltermvergelijking.

Pi kan ook worden gebruikt voor het berekenen van vele andere dingen dan cirkels. Dankzij de eigenschappen van pi kan het worden gebruikt in veel andere gebieden van de wiskunde dan meetkunde, de studie van vormen. Enkele van deze gebieden zijn complexe analyse, trigonometrie en reeksen.

 

Pi in het echte leven

Er zijn verschillende manieren om vele cijfers van π te berekenen. Dit is echter van beperkt nut.

Pi kan soms worden gebruikt om de oppervlakte of de omtrek van een cirkel te berekenen. Om de omtrek van een cirkel te vinden, gebruikt u de formule C (omtrek) = π × (diameter). Om de oppervlakte van een cirkel te vinden, gebruikt u de formule π (straal²). Deze formule wordt soms geschreven als A = π r 2 {Displaystyle A= r^{2}} waarbij r de variabele voor de straal van een cirkel is en A de variabele voor de oppervlakte van die cirkel.

De omtrek van een cirkel berekenen met een fout van 1 mm:

• 4 cijfers zijn nodig voor een straal van 30 meter
• 10 cijfers voor een straal gelijk aan die van de aarde
• 15 cijfers voor een straal gelijk aan de afstand van de aarde tot de zon.
• 20 cijfers voor een straal gelijk aan de afstand van de aarde tot Polaris.

Mensen vieren 14 maart meestal als Pi-dag, omdat 14 maart ook wordt geschreven als 3/14, wat staat voor de eerste drie getallen 3,14 in de benadering van pi. Pi-dag begon in 2001.

 

Gerelateerde pagina's

• Lijst van nummers
• Irrationele getallen
• Vierkantswortel van 2
• Gulden snede
• E (wiskundige constante)
• De kwadratuur van de cirkel
• Transcendentaal getal