Heaviside-functie

Wij kunnen ook een alternatieve vorm van de Heaviside-stappenfunctie definiëren als functie van een discrete variabele n:

H [ n ] = {0 , n < 0 1 , n ≥ 0 {Stijl H[n]={>begin{cases}0,&n<0\1,&n\geq 0{cases}}

waarbij n een geheel getal is.

Of

H ( x ) = lim z → x - ( ( | z | / z + 1 ) / 2 ) {Displaystyle H(x)=lim _{zrightarrow x^{-}}((|z|/z+1)/2)}

De discrete-tijd eenheidsimpuls is het eerste verschil van de discrete-tijdstap

δ [ n ] = H [ n ] - H [ n - 1 ] . links[nrechts]=H[n]-H[n-1]. }

Deze functie is de cumulatieve sommatie van de Kronecker delta:

H [ n ] = ∑ k = - ∞ n δ [ k ] {\displaystyle H[n]=sum _{k=-[k]^{n}]delta [k]\,}

waarbij

δ [ k ] = δ k , 0 {\displaystyle \delta [k]=\delta _{k,0}}

is de discrete eenheidsimpulsfunctie.

Vaak is een integrale voorstelling van de Heaviside stapfunctie nuttig:

H ( x ) = lim ϵ → 0 + - 1 2 π i ∫ - ∞ ∞ 1 τ + i ϵ e - i x τ d τ = lim ϵ → 0 + 1 2 π i ∫ - ∞ ∞ 1 τ - i ϵ e i x τ d τ . {Displaystyle H(x)=lim _{-epsilon \tot 0^{+}}-{1 \over 2 \pi \mathrm {i} }int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +\mathrm {i}} \epsilon }^mathrm {e} ^{-[mathrm {i} x[mathrm {d}] \tau =lim _{\epsilon \tot 0^{+}}{1 \over 2 \pi \mathrm {i}} }int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau -\mathrm {i} \epsilon }^{mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\tau }\mathrm {d} \tau . }

De waarde van de functie op 0 kan worden gedefinieerd als H(0) = 0, H(0) = ½ of H(0) = 1.

H ( x ) = 1 + sgn ( x ) 2 = { 0 , x < 0 1 2 , x = 0 1 , x > 0. {\displaystyle H(x)={\frac {1+\operatorname {sgn}(x)}{2}}={\begin{cases}0,&x<0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\1,&x>0.\end{cases}}}

• Laplace-transformatie