Identiteit (wiskunde)

Voor andere betekenissen van dit woord, zie identiteit.

In de wiskunde heeft de term identiteit verschillende belangrijke toepassingen:

Een identiteit is een gelijkheid die waar blijft zelfs als je alle variabelen verandert die in die gelijkheid gebruikt worden.

Een gelijkheid in wiskundige zin is alleen waar onder meer bijzondere voorwaarden. Hiervoor wordt soms het symbool ≡ gebruikt. (Dit kan echter tot misverstanden leiden, omdat hetzelfde symbool ook voor een congruentierelatie kan worden gebruikt).

Voorbeelden

Identiteitsrelatie

Een veelvoorkomend voorbeeld van de eerste betekenis is de goniometrische identiteit

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {Displaystyle θsin ^{2}theta + cos ^{2}theta =1,} $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,$

wat waar is voor alle reële waarden van θ {\displaystyle \theta } $\theta$ (aangezien de reele getallen R {\displaystyle {\mathbb {R}}} ${\mathbb {R}}$ het domein van sin en cos zijn), in tegenstelling tot

cos θ = 1 , {Displaystyle \cos \theta =1,\,} $\cos \theta =1,\,$

die alleen waar is voor waarden van θ {{{}} $\theta$ in een deelverzameling van het domein.

Identiteitselement

De begrippen "additieve identiteit" en "multiplicatieve identiteit" staan centraal in de axioma's van Peano. Het getal 0 is de "additieve identiteit" voor gehele getallen, reele getallen, en complexe getallen. Voor de reele getallen geldt dat voor alle a ∈ R , {{R}},} $a\in {\mathbb {R}},$

0 + a = a , {\an8}0+a=a,\an8,} $0+a=a,\,$

a + 0 = a , {\a6} $a+0=a,\,$ en

0 + 0 = 0. 0+0=0.\,} $0+0=0.\,$

Evenzo is het getal 1 de "vermenigvuldigingsidentiteit" voor gehele getallen, reele getallen en complexe getallen. Voor de reele getallen geldt dat voor alle a ∈ R , {\an5}},} $a\in {\mathbb {R}},$

1 × a = a , {\an5}1 × a=a,} $1\times a=a,\,$

a × 1 = a , {\a6} $a\times 1=a,\,$ en

1 × 1 = 1. 1 maal 1=1,} $1\times 1=1.\,$

Identiteitsfunctie

Een veel voorkomend voorbeeld van een identiteitsfunctie is de permutatie van de identiteit, die elk element van de verzameling {1 , 2 , ... , n } {1,2,n}} $\{1,2,\ldots ,n\}$ naar zichzelf.

Vergelijking

Deze betekenissen sluiten elkaar niet uit; zo is de identiteitpermutatie het identiteitselement in de verzameling permutaties van { 1 , 2 , ... , n } {1,2,n}} $\{1,2,\ldots ,n\}$ onder samenstelling.

Vragen en antwoorden

V: Wat is een identiteit in de wiskunde?

A: Een identiteit in de wiskunde is een gelijkheid die waar blijft zelfs als je alle variabelen verandert die in die gelijkheid gebruikt worden.

V: Wanneer is een gelijkheid in wiskundige zin alleen waar?

A: Een gelijkheid in wiskundige zin is alleen waar onder bepaalde voorwaarden.

V: Wat is het symbool dat gebruikt wordt voor een identiteit?

Antwoord: Het symbool dat gebruikt wordt voor een identiteit is niet gespecificeerd, maar waarschijnlijk wordt het gelijkheidsteken (=) gebruikt.

Vraag: Wat is het symbool voor een congruentierelatie?

A: Het symbool dat gebruikt wordt voor een congruentierelatie is hetzelfde als het symbool dat gebruikt wordt voor een identiteit, namelijk ≡.

V: Hoeveel belangrijke toepassingen heeft de term identiteit in de wiskunde?

A: De term identiteit heeft verschillende belangrijke toepassingen in de wiskunde.

V: Wat is het verschil tussen een identiteit en een gelijkheid in wiskundige zin?

A: Een identiteit blijft waar, zelfs als je alle variabelen verandert die in die gelijkheid gebruikt worden, terwijl een gelijkheid in wiskundige zin alleen waar is onder meer specifieke voorwaarden.

V: Wordt hetzelfde symbool gebruikt voor een identiteit en een congruentierelatie?

A: Ja, hetzelfde symbool (≡) kan gebruikt worden voor een identiteit en een congruentierelatie.