Identiteit (wiskunde)

Voor andere betekenissen van dit woord, zie identiteit.

In de wiskunde heeft de term identiteit verschillende belangrijke toepassingen:

  • Een identiteit is een gelijkheid die waar blijft zelfs als je alle variabelen verandert die in die gelijkheid gebruikt worden.

Een gelijkheid in wiskundige zin is alleen waar onder meer bijzondere voorwaarden. Hiervoor wordt soms het symbool ≡ gebruikt. (Dit kan echter tot misverstanden leiden, omdat hetzelfde symbool ook voor een congruentierelatie kan worden gebruikt).

Voorbeelden

Identiteitsrelatie

Een veelvoorkomend voorbeeld van de eerste betekenis is de goniometrische identiteit

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {Displaystyle θsin ^{2}theta + cos ^{2}theta =1,} {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}

wat waar is voor alle reële waarden van θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta }(aangezien de reele getallen R {\displaystyle {\mathbb {R}}}{\displaystyle {\mathbb {R}}} het domein van sin en cos zijn), in tegenstelling tot

cos θ = 1 , {Displaystyle \cos \theta =1,\,} {\displaystyle \cos \theta =1,\,}

die alleen waar is voor waarden van θ {{{}} {\displaystyle \theta }in een deelverzameling van het domein.

Identiteitselement

De begrippen "additieve identiteit" en "multiplicatieve identiteit" staan centraal in de axioma's van Peano. Het getal 0 is de "additieve identiteit" voor gehele getallen, reele getallen, en complexe getallen. Voor de reele getallen geldt dat voor alle a R , {{R}},} {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}

0 + a = a , {\an8}0+a=a,\an8,} {\displaystyle 0+a=a,\,}

a + 0 = a , {\a6} {\displaystyle a+0=a,\,}en

0 + 0 = 0. 0+0=0.\,} {\displaystyle 0+0=0.\,}

Evenzo is het getal 1 de "vermenigvuldigingsidentiteit" voor gehele getallen, reele getallen en complexe getallen. Voor de reele getallen geldt dat voor alle a R , {\an5}},} {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}

1 × a = a , {\an5}1 × a=a,} {\displaystyle 1\times a=a,\,}

a × 1 = a , {\a6} {\displaystyle a\times 1=a,\,}en

1 × 1 = 1. 1 maal 1=1,} {\displaystyle 1\times 1=1.\,}

Identiteitsfunctie

Een veel voorkomend voorbeeld van een identiteitsfunctie is de permutatie van de identiteit, die elk element van de verzameling {1 , 2 , ... , n } {1,2,n}} {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}naar zichzelf.

Vergelijking

Deze betekenissen sluiten elkaar niet uit; zo is de identiteitpermutatie het identiteitselement in de verzameling permutaties van { 1 , 2 , ... , n } {1,2,n}} {\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}onder samenstelling.


AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3