Imaginaire getallen: definitie, eigenschappen en toepassingen

Leer alles over imaginaire getallen: definitie, eigenschappen en praktische toepassingen in wiskunde, natuurkunde en techniek — helder uitgelegd met voorbeelden.

Imaginaire getallen zijn getallen die gemaakt zijn door een reëel getal te combineren met de denkbeeldige eenheid, genaamd i, waarbij i gedefinieerd is als i 2 = - 1 {displaystyle i^{2}=-1}. Ze worden apart van de negatieve reele getallen gedefinieerd omdat ze de vierkantswortel van een negatief reëel getal representeren — iets wat binnen de reële getallen niet mogelijk is (er bestaat geen reëel getal waarvan het kwadraat een negatief getal is).

Wat is precies een imaginair getal?

Een enkel imaginair getal heeft de vorm bi, waarbij b een reëel getal is. Als b = 0 spreken we van het getal 0; als b ≠ 0 spreken we van een zuiver imaginair getal. Door imaginaire getallen te combineren met reële getallen ontstaan complexe getallen (zie verderop).

Intuïtie en richting-analogie

Een veelgebruikte intuïtie is de richting-analogie: reële getallen bewegen langs één as (bijvoorbeeld oost-west), imaginair getallen beschrijven beweging in de loodrechte richting (bijvoorbeeld noord-zuid). Zo geldt:

• "Ga naar het oosten met -1 mijl" = "ga naar het westen met 1 mijl" (te vergelijken met negatieve reële getallen).
• "Ga naar het oosten met i mijl" ≈ "ga naar het noorden met 1 mijl" (een draai van 90°).
• "Ga naar het oosten met -i mijl" ≈ "ga naar het zuiden met 1 mijl" (een draai van -90°).
• "Ga naar het oosten met 1 + i mijl" = oost 1 mijl en noord 1 mijl tegelijk (combinatie van reëel en imaginair).

Rekenregels en eigenschappen

Imaginaire en complexe getallen volgen vaste rekenregels die lijken op die van reële getallen, met als belangrijkste uitzondering de definitie i² = −1. Enkele belangrijke eigenschappen:

• Optellen: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
• Vermenigvuldigen: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Hierbij zorgt het product tussen de imaginaire delen voor een reëel negatief deel omdat i² = −1.
• Conjugaat: Het complexe geconjugeerde van z = a + bi is z̄ = a − bi. Het product z · z̄ = a² + b² is reëel en ≥ 0.
• Modulus (grootte): |a + bi| = sqrt(a² + b²). Dit is de afstand tot de oorsprong in het complexe vlak.
• Delen: Om te delen gebruik je het geconjugeerde: (a + bi)/(c + di) = ((a + bi)(c − di)) / (c² + d²).
• Rotatie en schaal: Vermenigvuldigen met een complex getal schaalt en roteert punten in het complexe vlak. Vermenigvuldigen met i roteert 90° tegen de klok in (en schaalt niet).

Complexe getallen en voorstellingswijzen

Een algemeen complex getal heeft de vorm a + bi, waarbij a en b reëel zijn. Speciale gevallen:

• Reëel getal: b = 0 → a + 0i = a.
• Zuiver imaginair: a = 0 → 0 + bi = bi.

Twee gangbare voorstellingswijzen:

• Cartesische vorm: a + bi (gemakkelijk voor optellen en aftrekken).
• Poolvorm (trigonometrisch): r(cos θ + i sin θ), waarbij r = |z| en θ = arg(z). Dit is handig bij vermenigvuldigen en machtsverheffen.

Met de Euler-relatie heeft men ook de exponentiële vorm: z = r e^{iθ}, wat veel gebruikt wordt in analyse en natuurkunde.

Voorbeelden en oplossen van vergelijkingen

• De vierkantswortel van −9 is 3i, omdat (3i)² = 9i² = 9(−1) = −9.
• Oplossen van kwadratische vergelijkingen kan complexe oplossingen geven. Bijvoorbeeld x² + 1 = 0 → x = ±i.

Geschiedenis, acceptatie en terminologie

Het idee van wortels van negatieve getallen dook geleidelijk op in de ontwikkeling van algebra. In de 16e eeuw kwamen wiskundigen zoals Cardano al situaties tegen waarin zulke wortels ontstonden. Later formaliseerden wiskundigen zoals Rafael Bombelli en vooral Euler en Gauss het begrip en introduceerden de notatie en geometrische interpretatie (complexe vlak). De naam imaginair weerspiegelt meer de historische scepsis dan de geldigheid: moderne wiskunde en techniek behandelen i als een volwaardig getal, net zo goed als reële getallen.

Toepassingen

Imaginaire en complexe getallen zijn niet louter theoretisch; ze hebben veel praktische toepassingen:

• In de elektrotechniek en schakelingentheorie wordt vaak j gebruikt in plaats van i om verwarring met elektrische stroom (i) te voorkomen. Complexe getallen beschrijven faseverschuivingen en impedanties.
• Bepaalde takken van de natuurkunde, zoals kwantumfysica en hoge-energiefysica, gebruiken i frequent in fundamentele vergelijkingen (bijv. de Schrödingervergelijking bevat i expliciet).
• Signaalverwerking, controle-theorie, Fourier-analyse en differentiaalvergelijkingen gebruiken complexe getallen om oscillaties, demping en frequentie-eigenschappen te beschrijven.
• In de wiskunde zelf maken complexe getallen veel oorzaak oplossingen mogelijk die binnen de reëel getallen onmogelijk zijn; veel stellingen (zoals het fundamentele algebraïsche feit dat elke polynoom van graad n n complexe nulpunten heeft) berusten op complex getalbegrip.

Samenvatting

Imaginaire getallen breiden de reële getallen uit met een nieuwe eenheid i waarvoor i² = −1. Door reële en imaginaire delen te combineren ontstaan complexe getallen a + bi. Ze hebben heldere rekenregels, een eenvoudige geometrische interpretatie als punten in het complexe vlak, en veel praktische toepassingen in wetenschap en techniek. Hoewel de term "imaginair" oud aandoet, zijn deze getallen onmisbaar en even "echt" binnen hun wiskundige context als reële getallen.

Vragen en antwoorden

V: Wat is een imaginair getal?

V: Waarin verschillen imaginaire getallen van negatieve reële getallen?

V: Wat betekent het als wij zeggen "ga naar het oosten over -i mijl"?

V: Hoe tel je twee imaginaire getallen op?

V: Wat zijn complexe getallen?

V: Op welke gebieden gebruiken wiskundigen het begrip denkbeeldige eenheid?

Zoek op letter