Imaginair getal
Imaginaire getallen zijn getallen die gemaakt zijn van het combineren van een reëel getal met de denkbeeldige eenheid, genaamd i, waarbij i gedefinieerd is als i 2 = - 1 {displaystyle i^{2}=-1}
. Ze worden apart van de negatieve reele getallen gedefinieerd omdat ze een vierkantswortel van een negatief reëel getal zijn in plaats van een positief reëel getal. Dit is niet mogelijk met reële getallen, omdat er geen reëel getal is dat zich vanzelf vermenigvuldigt om een negatief getal te krijgen (b.v. 3*3 = 9 en -3*-3 = 9).
Een manier om erover na te denken is om te zeggen dat denkbeeldige getallen voor negatieve getallen zijn, wat negatieve getallen voor positieve getallen zijn. Als ik zeg "ga naar het oosten met -1 mijl" is het hetzelfde als wanneer ik had gezegd "ga naar het westen met 1 mijl". Als ik zeg "ga naar het oosten bij i miles" betekent dit hetzelfde als wanneer ik had gezegd "ga naar het noorden bij 1 mile". Als ik zeg "ga naar het oosten bij -i mijl" betekent het hetzelfde alsof ik had gezegd "ga naar het zuiden bij 1 mijl".
Toevoegen is ook gemakkelijk. Als ik zeg "ga naar het oosten met 1 + i mijl" betekent dit hetzelfde als wanneer ik had gezegd "ga naar het oosten met een mijl en naar het noorden met een mijl".
Het vermenigvuldigen van twee denkbeeldige getallen lijkt veel op het vermenigvuldigen van een positief getal met een negatief getal. Als ik zeg "ga naar het oosten met 2*-3 mijl" betekent dit "draai helemaal rond (zodat je nu naar het westen kijkt) en ga 2*3 = 6 mijl". Denkbeeldige getallen werken hetzelfde, maar je kunt wel gedeeltelijk ronddraaien. Als ik zeg ga "oostelijk bij 2*3i mijl", dan betekent dat hetzelfde als dat ik had gezegd "draai tot je naar het noorden gericht bent, en ga dan 2*3 = 6 mijl".
Vroeger was het onmogelijk om 5 - 9 af te trekken totdat er negatieve getallen werden uitgevonden. Daarna was het onmogelijk om de vierkantswortel van een negatief getal te nemen totdat er denkbeeldige getallen werden uitgevonden. De vierkantswortel van 9 is 3, maar de vierkantswortel van -9 is niet -3. Dit komt omdat -3 x -3 = +9, niet -9. Lange tijd leek het alsof er geen antwoord was op de vierkantswortel van -9.
Daarom hebben wiskundigen het denkbeeldige getal, i, uitgevonden en gezegd dat het de vierkantswortel van -1 is. De vierkantswortel van -1 is geen reëel getal, dus deze definitie creëert een nieuw type getal, net zoals fracties getallen als 2/3 creëren die geen getallen als 4 of 10 tellen, en negatieve getallen laten ons getallen hebben die kleiner zijn dan 0. Soms lijken wiskundigen nogal comfortabel met een getal dat zo ongewoon is, maar de naam imaginair moet je niet voor de gek houden, want i is net zo geldig als een getal als 3 of 145.379.
Veel takken van wetenschap en techniek hebben voor dit aantal toepassingen gevonden. Soms moeten elektrotechnici begrijpen hoe een elektrische schakeling werkt als ze hem ontwerpen (elektrotechnici gebruiken j in plaats van i om verwarring met het symbool voor de stroom te voorkomen). Bepaalde takken van de natuurkunde, zoals de kwantumfysica en de hoge energiefysica, gebruiken i net zo vaak als een ander regulier getal. Veel vergelijkingen in de wereld kunnen eenvoudigweg niet worden opgelost zonder i.
Denkbeeldige getallen kunnen worden gemengd met getallen die we beter kennen. Bijvoorbeeld, een reëel getal zoals 2 kan worden opgeteld bij een imaginair getal zoals 3i om 2+3i te creëren. Dit soort gemengde getallen staan bekend als complexe getallen.
Vragen en antwoorden
V: Wat is een imaginair getal?
A: Een imaginair getal is een combinatie van een reëel getal en de imaginaire eenheid, i genaamd, waarbij i gedefinieerd is als i^2=-1.
V: Waarin verschillen imaginaire getallen van negatieve reële getallen?
A: Imaginaire getallen worden anders gedefinieerd dan negatieve reële getallen in die zin dat zij een vierkantswortel zijn van een negatief reëel getal (in plaats van een positief reëel getal). Dit is niet mogelijk met reële getallen, aangezien er geen reëel getal is dat met zichzelf vermenigvuldigt om een negatief getal te krijgen.
V: Wat betekent het als wij zeggen "ga naar het oosten over -i mijl"?
A: Wanneer wij zeggen "ga naar het oosten met -i mijl", betekent dit hetzelfde als wanneer wij zouden zeggen "ga naar het zuiden met 1 mijl".
V: Hoe tel je twee imaginaire getallen op?
Antwoord: Om twee denkbeeldige getallen op te tellen, kunt u zeggen "ga een mijl naar het oosten en een mijl naar het noorden". Het vermenigvuldigen van twee imaginaire getallen is vergelijkbaar met het vermenigvuldigen van een positief getal met een negatief getal.
V: Wat zijn complexe getallen?
A: Complexe getallen zijn gemengde getallen die bestaan uit zowel reële als imaginaire componenten, zoals 2+3i. Ze ontstaan wanneer u een reële en een imaginaire component bij elkaar optelt.
V: Op welke gebieden gebruiken wiskundigen het begrip denkbeeldige eenheid?
A: Wiskundigen gebruiken het begrip imaginaire eenheid in vele takken van wetenschap en techniek, zoals elektrotechniek, kwantumfysica, hoge-energiefysica, enz. Het wordt ook gebruikt in vergelijkingen die zonder deze eenheid niet kunnen worden opgelost.
