Naar de inhoud gaan
Home

Gedeeltelijke (partiële) afgeleide: definitie, notatie en voorbeelden

Leer wat een gedeeltelijke (partiële) afgeleide is: heldere definitie, notatie (∂), stappen en praktijkvoorbeelden voor multivariabele functies — perfect voor studenten en onderzoekers.

Auteur: Aangemaakt: Bijgewerkt:

In calculus, een tak van de wiskunde, is de gedeeltelijke afgeleide van een functie de afgeleide met betrekking tot één van de variabelen, waarbij alle andere variabelen als constante worden bekeken. Met andere woorden: de gedeeltelijke afgeleide neemt de afgeleide van een aangegeven variabele en houdt de overige variabelen vast. Dit begrip is essentieel bij functies van twee of meer variabelen (n ≥ 2).

De gebruikelijke notatie is

∂ f ∂ x {\frac \frac {partial f}} {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}

Afbeeldingengalerij

1 Afbeelding
Cone 3d
en.wikipedia.org · CC BY-SA 3.0

Andere notaties

  • f_x of f_y — compacte indexnotatie voor partiële afgeleiden.
  • D_x f — operatornotatie (Leibniz-stijl).
  • ∂^2 f / ∂x^2 — tweede partiële afgeleide naar x; ∂^2 f / ∂x ∂y — gemengde partiële afgeleide.

Definitie en uitleg

Voor een functie f(x, y, ..., z) is de partiële afgeleide naar x gedefinieerd als de limiet

∂f/∂x (x0,y0,...) = lim_{h→0} [f(x0+h, y0, ...) − f(x0, y0, ...)] / h,

waarbij alleen x wordt veranderd en alle andere variabelen (y, ...) gefixeerd zijn. Deze limiet, als die bestaat, geeft de richtingsafgeleide van f in de richting van de x-as — dus de helling van de raaklijn aan het snijvlak van het oppervlak met het vlak waar y, z, ... constant zijn.

Voorbeelden

Voorbeeld 1. Laat f(x,y) = x^2 y + sin(xy). Dan

  • ∂f/∂x = 2x y + cos(xy) · y (de afgeleide van x^2 y naar x is 2x y; voor sin(xy) gebruiken we kettingregel met binnenfunctie xy).
  • ∂f/∂y = x^2 + cos(xy) · x (de afgeleide van x^2 y naar y is x^2; voor sin(xy) kettingregel met xy).

Voorbeeld 2. Voor f(x,y,z) = e^{xz} + y^3 geldt

  • ∂f/∂x = z e^{xz} (z is constant bij differentiatie naar x).
  • ∂f/∂y = 3 y^2.
  • ∂f/∂z = x e^{xz}.

Eigenschappen

  • Lineairiteit: ∂(af + bg)/∂x = a ∂f/∂x + b ∂g/∂x voor constante a,b.
  • Product- en kettingregel hebben analoge vormen voor partiële afgeleiden (bijv. ∂/∂x [u(x,y)v(x,y)] = u_x v + u v_x).
  • Gemengde partiële afgeleiden: als f voldoende glad is (bijvoorbeeld als de tweede partiële afgeleiden continu zijn in een buur van een punt), dan geldt Clairaut's theorema: ∂^2 f/∂x ∂y = ∂^2 f/∂y ∂x.
  • De gradient ∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn) verzamelt alle eerste partiële afgeleiden en geeft de richting van grootste stijging aan.
  • De directionele afgeleide in richting eenheidsvector u is D_u f = ∇f · u.

Evaluatie in een punt

Men schrijft vaak (∂f/∂x)(a,b,...) of ∂f/∂x |_{(a,b,...)} om de partiële afgeleide te evalueren in het punt (a,b,...). Dit geeft de helling van f in de x-richting precies in dat punt.

Korte opmerking over gebruik

Gedeeltelijke afgeleiden zijn onmisbaar in meerdere gebieden zoals optimalisatie (kritieke punten en Hessiaanse matrix), differentiaalvergelijkingen, fysica (bijv. behoudswetten), en in de modellering van systemen met meerdere variabelen. Voor meer geavanceerde toepassingen komen hogere-orde partiële afgeleiden en differentiaaloperatoren aan bod.

Voorbeelden

Als we een functie f ( x , y ) = x 2 + y hebben {\playstyle f(x,y)=x^{2}+y} {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y}dan zijn er verschillende gedeeltelijke afgeleiden van f(x, y) die allemaal even geldig zijn. Bijvoorbeeld,

∂ ∂ y [ f ( x , y ) ] = 1 {\frac {partieel y}[f(x,y)]=1} {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}[f(x,y)]=1}

Of, we kunnen het volgende doen:

∂ ∂ x [ f ( x , y ) ] = 2 x {\frac }[partiële x}}[f(x,y)]=2x} {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}[f(x,y)]=2x}

Gerelateerde pagina's

Vragen en antwoorden

V: Wat is een partiële afgeleide?

A: Een partiële afgeleide is de afgeleide van één benoemde variabele in een functie, waarbij alle andere onbenoemde variabelen constant worden gehouden.

V: Hoe wordt de partiële afgeleide gewoonlijk genoteerd?

A: De partiële afgeleide van een functie f ten opzichte van de variabele x wordt gewoonlijk genoteerd als {{}}, f_x, of {x}f.

V: Wordt de partiële afgeleide altijd genomen in een multivariabele functie?

Antwoord: Meestal, maar niet altijd, wordt de partiële afgeleide genomen in een multivariabele functie (een functie die twee of meer variabelen als invoer heeft).

V: Wat betekent het om bepaalde aangegeven variabelen van een functie te differentiëren?

Antwoord: Differentiëren van bepaalde aangegeven variabelen van een functie betekent de afgeleiden nemen van die bepaalde variabelen terwijl alle andere variabelen constant worden gehouden.

V: Wat voor soort calculus houdt dit begrip in?

A: Dit begrip omvat multivariate calculus, die de veranderingsgraad van functies met meerdere variabelen bestudeert.

V: Zijn er nog andere geldige notaties voor de partiële afgeleide naast die welke in de tekst worden genoemd?

Antwoord: Ja, er kunnen andere geldige notaties voor de partiële afgeleide zijn dan die welke in de tekst worden genoemd.

Gerelateerde artikelen

Auteur

AlegsaOnline.com Gedeeltelijke (partiële) afgeleide: definitie, notatie en voorbeelden

URL: https://nl.alegsaonline.com/art/74826

Delen