Polair traagheidsmoment

Opmerking: Verschillende disciplines gebruiken de term traagheidsmoment om te verwijzen naar verschillende momenten. In de natuurkunde is het traagheidsmoment strikt genomen het tweede massamoment ten opzichte van de afstand tot een as, die de hoekversnelling van een object als gevolg van een toegepast koppel kenmerkt. In de techniek (vooral mechanisch en civiel) verwijst het traagheidsmoment meestal naar het tweede moment van het gebied. Bij het aflezen van het polaire traagheidsmoment moet worden gecontroleerd of het verwijst naar het "polaire tweede ogenblik van het gebied" en niet naar het traagheidsmoment. Polair tweede moment van gebied zal eenheden van lengte tot de vierde macht hebben (b.v. m 4 {displaystyle m^{4}} $m^{4}$ of i n 4 {displaystyle in^{4}} $in^{4}$ ), terwijl het traagheidsmoment massa maal lengte in het kwadraat is (b.v. k g ∗ m 2 {displaystyle kg*m^{2}} $kg*m^{2}$ of l b ∗ i n 2 {displaystyle lb*in^{2}}. $lb*in^{2}$ ).

Het polaire tweede moment van het gebied (ook wel "polair traagheidsmoment" genoemd) is een maat voor het vermogen van een object om weerstand te bieden aan torsie als functie van zijn vorm. Het is een aspect van het tweede oppervlaktemoment dat verbonden is met de stelling van de loodrechte as waarbij het vlakke tweede oppervlaktemoment de dwarsdoorsnedevorm van een bundel gebruikt om zijn weerstand tegen vervorming (buiging) te beschrijven wanneer deze wordt onderworpen aan een kracht die wordt uitgeoefend in een vlak evenwijdig aan zijn neutrale as, het polaire tweede oppervlaktemoment gebruikt de dwarsdoorsnedevorm van een bundel om zijn weerstand tegen vervorming (torsie) te beschrijven wanneer een moment (koppel) wordt uitgeoefend in een vlak dat loodrecht staat op de neutrale as van de bundel. Terwijl het vlakke tweede moment van het gebied meestal met de letter wordt aangeduid, wordt het polaire tweede moment van het gebied meestal met een van beide aangeduid, ik z {\playstyle I} $I_{z}$ ...of de brief, J... .. $J$ .in technische leerboeken.

De berekende waarden voor het polaire tweede oppervlaktemoment worden meestal gebruikt om de torsiebestendigheid van een massieve of holle cilindrische as te beschrijven, zoals in de as of de aandrijfas van een voertuig. Bij toepassing op niet-cilindrische balken of assen worden de berekeningen voor het polaire tweede oppervlaktemoment foutief door kromming van de as/bundel. In deze gevallen moet een torsieconstante worden gebruikt, waarbij een correctieconstante wordt toegevoegd aan de berekening van de waarde.

Het polaire tweede moment van het gebied draagt de eenheden van lengte tot de vierde macht ( L 4 {displaystyle L^{4}} $L^{4}$ ); meters tot de vierde macht ( m 4 {displaystyle m^{4}} $m^{4}$ ) in het metrische eenheidssysteem, en inches tot de vierde macht ( i n 4 {displaystyle in^4}} $in^{4}$ ) in het keizerlijke eenheidssysteem. De wiskundige formule voor directe berekening is gegeven als een meervoudige integraal over het gebied van een vorm, R {\playstyle R} $R$ op een afstand ρ $\rho$ {\\\\\rho }van een willekeurige as O {\\\playstyle } $O$ .

J O = ∬ R ρ 2 d A {\\playstyle J_O}==zonder grenzen _{R}rho ^2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

In de meest eenvoudige vorm is het polaire tweede moment van het gebied een optelsom van de twee vlakke tweede momenten van het gebied, ik x {displaystyle I_x} $I_{x}$ en ik y {displaystyle I_y} $I_{y}$ . Met behulp van de stelling van Pythagoras, de afstand tot de as O {\\\\\\\\\} $O$ ...ρ...in de vorm van een toneelstukje... $\rho$ kan worden ingebroken in de x- $x$ en $y$ y-componenten, en de verandering in het gebied, d A. dA. $dA$ ...ingebroken in de x- $x$ en $y$ y-onderdelen, d x- $dx$ en d y-displaystyle dy $dy$ .

Gezien de twee formules voor de vlakke tweede momenten van het gebied:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\displaystyle I_{x}==zonder grenzen _{R}x^2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ en I y = ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle I_{y}==beperkt _{R}y^2}dxdy} $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

De relatie met het polaire tweede moment van het gebied kan worden weergegeven als:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\playstyle J_O}==zonder grenzen _{R}rho ^2}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\\playstyle J_{O}==minderheden _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\displaystyle J_{O}==beperking _{R}x^{2}dxdy+beperking _{R}y^{2}dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\displaystyle \\efore J=I_{x}+I_{y}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

In essentie zal, naarmate de grootte van het polaire tweede moment van het gebied toeneemt (d.w.z. de vorm van de doorsnede van een groot object), meer koppel nodig zijn om een torsieafbuiging van het object te veroorzaken. Er moet echter worden opgemerkt dat dit geen invloed heeft op de torsiestijfheid die door de samenstellende materialen aan een object wordt gegeven; het polaire tweede oppervlaktemoment is gewoon de stijfheid die door de vorm alleen aan een object wordt gegeven. De torsiestijfheid die door materiaaleigenschappen wordt geleverd, staat bekend als de afschuivingsmodulus, G {\playstyle G} $G$ . Door deze twee componenten van stijfheid met elkaar te verbinden, kan men de hoek van de torsie van een straal berekenen, θ {\playstyle \theta} $\theta$ met behulp van:

θ = T l J G {\\\\\\tta = {frac {Tl}{JG}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Waarbij T het toegepaste moment (koppel) is en $T$ l de lengte van de straal. Zoals afgebeeld $l$ leiden hogere koppels en straallengtes tot grotere hoekverdraaiingen, waarbij hogere waarden voor het polaire tweede moment van het gebied, J $J$ en materiële afschuivingsmodulus, G... $G$ vermindert de kans op hoekverdraaiingen.

Een schema dat laat zien hoe het polaire tweede moment van het gebied ("Polar Moment of Inertia") wordt berekend voor een willekeurige vorm van gebied, R, om een as o, waarbij ρ de radiale afstand tot het element dA is.

Gerelateerde pagina's

Moment (fysica)
Tweede moment van het gebied
Lijst van tweede oppervlaktemomenten voor standaardvormen
Scherpmodulus

Vragen en antwoorden

V: Wat is het traagheidsmoment in de natuurkunde?

A: In de natuurkunde is het traagheidsmoment strikt genomen het tweede massamoment ten opzichte van de afstand tot een as, dat de hoekversnelling van een voorwerp als gevolg van een toegepast koppel karakteriseert.

V: Waar verwijst het polaire tweede moment van oppervlakte naar in de techniek?

A: In de techniek (vooral de werktuigbouwkunde en de civiele techniek) verwijst het traagheidsmoment gewoonlijk naar het tweede moment van de oppervlakte. Let er bij het lezen van het polaire traagheidsmoment op dat het gaat om het "polaire tweede moment van de oppervlakte" en niet om het traagheidsmoment. Het polaire tweede moment van de oppervlakte heeft de eenheid van lengte tot de vierde macht (bv. m^4 of in^4).

V: Hoe berekent u een polair tweede ogenblik van oppervlakte?

A: De wiskundige formule voor directe berekening wordt gegeven als een meervoudige integraal over de oppervlakte van een vorm, R, op een afstand ρ van een willekeurige as O. J_O=∬Rρ2dA. In de meest eenvoudige vorm is de poolseconde