AlegsaOnline.com

Congruentie

Schrijver: Leandro Alegsa

28-02-2021

In de meetkunde zijn twee figuren of voorwerpen congruent als ze dezelfde vorm en grootte hebben. Ook als de een dezelfde vorm en grootte heeft als het spiegelbeeld van de ander.

Meer formeel worden twee verzamelingen punten congruent genoemd als, en alleen als, het ene door isometrie in het andere kan worden getransformeerd. Voor isometrie worden starre bewegingen gebruikt.

Dit betekent dat het ene voorwerp zodanig kan worden verplaatst en gereflecteerd (maar niet verkleind) dat het precies samenvalt met het andere voorwerp. Dus twee verschillende vlakke figuren op een stuk papier zijn congruent als we ze kunnen uitknippen en ze dan volledig met elkaar in overeenstemming kunnen brengen. Omkeren van het papier is toegestaan.

Congruente veelhoeken zijn veelhoeken die, als je een regelmatige veelhoek in tweeën vouwt, een congruente veelhoek is.

Twee meetkundige vormen zijn congruent als de ene zo kan worden verplaatst of gedraaid dat hij precies past waar de andere zich bevindt. Als een van de objecten van grootte moet veranderen, zijn de twee objecten niet congruent: ze worden gewoon gelijkvormig genoemd.

Als twee figuren of voorwerpen congruent zijn, hebben ze dezelfde vorm en grootte; maar ze kunnen worden gedraaid, verplaatst, gespiegeld (gereflecteerd) of vertaald, zodat het precies past waar het andere is.

Een voorbeeld van congruentie. De twee linkse driehoeken zijn congruent, de derde is gelijkvormig. De laatste driehoek is noch gelijkvormig, noch congruent met een van de andere. Merk op dat congruentie de verandering van sommige eigenschappen toelaat, zoals plaats en oriëntatie, maar andere onveranderd laat, zoals afstand en hoeken. De onveranderde eigenschappen worden invarianten genoemd.

Voorbeelden

alle vierkanten waarvan de zijden even lang zijn, zijn congruent.
alle gelijkzijdige driehoeken waarvan de zijden even lang zijn, zijn congruent.

Tests voor congruentie

Twee hoeken en de zijde ertussen zijn gelijk op twee driehoeken (ASA congruentie)
Twee hoeken en een zijde die er niet tussen ligt zijn op beide driehoeken gelijk (AAS congruentie)
Alle drie zijden van beide driehoeken zijn gelijk (SSS congruentie)
twee zijden en de hoek ertussen maken 2 driehoeken congruent (SAS congruentie)

Hoe kunnen we nieuwe congruente vormen krijgen?

We hebben heel wat mogelijkheden, een paar regels om nieuwe vormen congruent te maken met de oorspronkelijke.

Als we een geomentrische vorm verschuiven in het vlak, dan krijgen we een vorm die congruent is met de oorspronkelijke.
Als we roteren in plaats van verschuiven, dan krijgen we ook een vorm die congruent is met de oorspronkelijke.
Zelfs als we een spiegelbeeld nemen van de oorspronkelijke vorm, dan krijgen we nog steeds een congruente vorm.
Als we de drie activiteiten na elkaar combineren, dan krijgen we nog steeds congruente vormen.
Er zijn geen congruente vormen meer. Nauwkeuriger gezegd betekent dit dat als een vorm congruent is met de oorspronkelijke, dat deze dan kan worden bereikt door de drie activiteiten die hierboven zijn beschreven.

De relatie, dat een vorm congruent is met een andere vorm heeft drie beroemde eigenschappen.

Als we de oorspronkelijke vorm met rust laten op zijn oorspronkelijke plaats, dan is hij congruent met zichzelf. Dit gedrag, deze eigenschap wordt reflexiviteit genoemd.

Bijvoorbeeld, als de verschuiving hierboven geen eigenlijke verschuiving is, maar slechts een verschuiving die een beweging van lengte nul maakt. Of, evenzo, als de draaiing hierboven geen eigenlijke draaiing is, maar slechts een draaiing met hoek nul.

Als een vorm congruent is met een andere vorm, dan is die andere vorm ook congruent met de oorspronkelijke vorm. Dit gedrag, deze eigenschap wordt symmetrie genoemd.

Als we bijvoorbeeld de nieuwe vorm terugschuiven, of terugdraaien, of spiegelen naar de oorspronkelijke vorm, dan is de oorspronkelijke vorm congruent met de nieuwe.

Als een vorm C congruent is met een vorm B, en de vorm B is congruent met de oorspronkelijke vorm A, dan is de vorm C ook congruent met de oorspronkelijke vorm A. Dit gedrag, deze eigenschap wordt transitiviteit genoemd.

Als we bijvoorbeeld eerst een verschuiving en dan een rotatie toepassen, dan is de resulterende nieuwe vorm nog steeds congruent met de oorspronkelijke vorm.

De beroemde drie eigenschappen, reflexiviteit, symmetrie en transitiviteit vormen samen het begrip equivalentie. De eigenschap congruentie is dus een soort gelijkwaardigheidsrelatie tussen vormen van een vlak.

Vragen en antwoorden

V: Wat betekent het dat twee figuren in de meetkunde congruent zijn?

A: Twee figuren zijn congruent in de meetkunde als ze dezelfde vorm en grootte hebben, of als de ene dezelfde vorm en grootte heeft als het spiegelbeeld van de andere.

V: Hoe worden twee verzamelingen punten congruent genoemd?

A: Twee verzamelingen punten worden congruent genoemd als en slechts als de ene door isometrie in de andere kan worden getransformeerd.

V: Waarvoor worden starre bewegingen in de isometrie gebruikt?

A: Starre bewegingen worden in de isometrie gebruikt om meetkundige figuren te verplaatsen, te roteren of te spiegelen zonder de grootte ervan aan te passen, zodat zij precies samenvallen met andere figuren.

V: Kunnen twee figuren congruent zijn als een ervan van grootte moet veranderen om met de andere samen te vallen?

A: Nee, als een van de figuren van grootte moet veranderen om samen te vallen met de andere, dan zijn de twee figuren niet congruent, maar worden zij gelijkvormig genoemd.

V: Wat kunnen wij zeggen over de congruentie van twee verschillende vlakke figuren op een stuk papier?

A: Twee verschillende vlakke figuren op een stuk papier zijn congruent als wij ze kunnen uitknippen en vervolgens volledig met elkaar in overeenstemming kunnen brengen, waarbij wij het papier zo nodig omdraaien.

V: Wat zijn congruente veelhoeken?

A: Congruente veelhoeken zijn veelhoeken die dubbelgevouwen kunnen worden tot een andere regelmatige veelhoek die ook congruent is.

V: Wat is het criterium om twee objecten in de meetkunde congruent te noemen?

A: Het criterium om twee objecten congruent te noemen in de meetkunde is dat het ene object verplaatst, geroteerd of gespiegeld kan worden zodat het precies samenvalt met het andere object, zonder de grootte ervan te veranderen.