Rationaal getal: definitie, eigenschappen en voorbeelden
Lees alles over rationele getallen: duidelijke definitie, belangrijke eigenschappen en praktische voorbeelden van breuken en gehele getallen.
In de wiskunde is een rationaal getal een getal dat als breuk kan worden geschreven. Rationale getallen zijn alle reële getallen, en kunnen positief of negatief zijn. Een getal dat niet rationaal is, wordt irrationeel genoemd.
De meeste getallen die mensen in het dagelijks leven gebruiken zijn rationaal. Daartoe behoren breuken en gehele getallen. En ook een getal dat in zijn eigen vorm als breuk kan worden geschreven.
Definitie en notatie
Formeel is een rationaal getal een getal dat geschreven kan worden als p/q waarbij p en q gehele getallen zijn en q ≠ 0. Vaak gebruikt men de notatie ℚ (de verzameling van rationale getallen). Iedere rationaal heeft minstens één breukvoorstelling; door de breuk in kommens te brengen (deling) krijgt men een decimale voorstelling die ofwel eindigt ofwel periodiek terugkeert.
Decimale voorstelling
- Eindigende decimalen: bijvoorbeeld 0,25 = 25/100 = 1/4.
- Periodieke decimalen: bijvoorbeeld 0,333... = 0,(3) = 1/3 en 0,142857142857... = 1/7.
- Elke decimale voorstelling die eindigt of periodiek is hoort bij een rationaal getal; omgekeerd heeft elk rationaal getal zo'n decimale voorstelling.
- Een bekende bijzondere zaak: 0,999... = 1 — beide zijn rationaal en gelijk.
Belangrijke eigenschappen
- Vorm: elk rationaal getal kan geschreven worden als p/q met p, q ∈ ℤ en q ≠ 0. Meestal vereenvoudigt men de breuk zodat p en q geen gemeenschappelijke delers hebben (gekort tot de irreductibele vorm).
- Uniciteit: de irreductibele vorm is uniek op het teken na (men neemt gewoonlijk q > 0).
- Rekenkundige bewerkingen: de rationale getallen zijn gesloten onder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (behalve delen door nul). Daarmee vormen zij een getallenveld (het rationele getallenveld).
- Dichtheid: tussen twee verschillende rationale getallen bestaat altijd weer een rationaal getal (bijv. het gemiddelde). Hierdoor zijn de rationale getallen dicht in de reële getallen.
- Telbaarheid: de verzameling ℚ is aftelbaar (telbaar oneindig), in tegenstelling tot de reële getallen die overaftelbaar zijn.
Voorbeelden
- Hele getallen: 5 = 5/1, −2 = −2/1.
- Gewone breuken: 3/4, −7/3.
- Decimale voorstellingen: 0,75 = 3/4 (eindigend), 0,666... = 2/3 (periodiek).
- Nul: 0 = 0/1 is ook rationaal.
Irrationele getallen kort
Een irrationeel getal kan niet als p/q met gehele p en q worden geschreven. Bekende voorbeelden zijn √2, π en e. Irrationele getallen hebben geen eindigende of periodieke decimale voorstelling; hun decimale expansie blijft oneindig zonder herhaling.
Praktische opmerkingen
- Om een decimale voorstelling naar een breuk om te zetten gebruikt men vaak methode met het wegnemen van de periode (bijv. x = 0,¯ab ⇒ 100x − x = ab).
- In veel toepassingen volstaat benadering van irrationale getallen door rationals (rationele benaderingen), omdat ℚ dicht is in ℝ.
- Bij het vereenvoudigen van breuken gebruikt men de grootste gemene deler (g.g.d.) van teller en noemer.
Rationale getallen schrijven
Breukvorm
Alle rationale getallen kunnen worden geschreven als een breuk. Neem als voorbeeld 1,5, dit kan worden geschreven als 1 1 2 {{frac {1}{2}}}. 
, 3 2 {\frac {3}{2}}} 
of 3 / 2 {displaystyle 3/2}
.
Meer voorbeelden van breuken die rationale getallen zijn, zijn 1 7 {displaystyle {1}{7}}} 
8 9, - 8 9. 
en 2 5
.
Afsluitende decimalen
Een afsluitende decimaal is een decimaal met een bepaald aantal cijfers rechts van de komma. Voorbeelden zijn 3,2, 4,075 en -300,12002. Deze zijn allemaal rationaal. Een ander goed voorbeeld is 0,9582938472938498234.
Decimalen herhalen
Een repeterende decimaal is een decimaal waarbij er oneindig veel cijfers rechts van de komma staan, maar die een repeterend patroon volgen.
Een voorbeeld hiervan is 1 3 {\frac {1}{3}}}
. Als decimaal wordt het geschreven als 0,33333333... De punten vertellen je dat het getal 3 zich eeuwig herhaalt.
Soms wordt een groep cijfers herhaald. Een voorbeeld is 1 11 {\frac {1}{11}}}
. Als decimaal wordt het geschreven als 0,09090909... In dit voorbeeld wordt de groep cijfers 09 herhaald.
Ook herhalen de cijfers soms na een andere groep cijfers. Een voorbeeld is 1 6 {\frac {1}{6}}}
. Het wordt geschreven als 0,16666666... In dit voorbeeld wordt het cijfer 6 herhaald, na het cijfer 1.
Als je dit op je rekenmachine probeert, kan er soms een afrondingsfout aan het eind komen. Je rekenmachine kan bijvoorbeeld zeggen dat 2 3 = 0,6666667 {frac {2}{3}}=0,6666667}. 
ook al is er geen 7. Hij rondt de 6 aan het eind af naar 7.
Irrationele getallen
De cijfers achter de komma in een irrationeel getal herhalen zich niet in een oneindig patroon. Bijvoorbeeld, de eerste cijfers van π (Pi) zijn 3,1415926535... Een paar van de cijfers herhalen zich, maar ze beginnen zich nooit in een oneindig patroon te herhalen, hoe ver je ook naar rechts van de komma gaat.
Rekenkundig
- Als je twee rationale getallen optelt of aftrekt, krijg je altijd een ander rationaal getal.
- Als je twee rationale getallen met elkaar vermenigvuldigt, krijg je altijd een ander rationaal getal.
- Als je twee rationale getallen deelt, krijg je altijd een ander rationaal getal, zolang je niet deelt door nul.
- Twee rationale getallen a b
en c d
zijn gelijk als a d = b c
.
Gerelateerde pagina's
- Irrationeel getal
- Breuk (wiskunde)
- Reëel getal
Zoek in de encyclopedie