Schwarzschildmetriek

De Schwarzschild-metriek werd door Karl Schwarzschild berekend als oplossing voor Einstein's veldvergelijkingen in 1916. Ook wel bekend als Schwarzschild-oplossing, het is een vergelijking uit de algemene relativiteit op het gebied van de astrofysica. Een metriek verwijst naar een vergelijking die ruimtetijd beschrijft; in het bijzonder beschrijft een Schwarzschild metriek het zwaartekrachtveld rond een Schwarzschild zwart gat - een niet-roterend, bolvormig zwart gat zonder magnetisch veld, en waar de kosmologische constante nul is.

Het is in wezen een vergelijking die beschrijft hoe een deeltje door de ruimte bij een zwart gat beweegt.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\playstyle (ds)^{2}=--c^2}(1-{\frac {rc{2}}))(dt)^2}+{frac {1}(1-{\frac {2GM}{rc{2}})}(dr)^2}+r^2}(dtheta )^2}+r^2} in ^2}(dphi )^2}} {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}

Afleiding

Hoewel een ingewikkelder manier om de Schwarzschild-metriek te berekenen kan worden gevonden met behulp van Christoffelsymbolen, kan deze ook worden afgeleid met behulp van de vergelijkingen voor ontsnappingssnelheid ( v e {\playstyle v_{e}}{\displaystyle v_{e}} ), tijddilatatie (dt'), lengtecontractie (dr'):

v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\frac {2GM}{r}}}}} {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}(1)

v is de snelheid van het deeltje
G is de zwaartekrachtsconstante
M is de massa van het zwarte gat
r is hoe dicht het deeltje bij het zware voorwerp
is

d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 ′displaystyle dt'=dt ′sqrt ′1-{\frac {v^2}}{c^{2}}}}}}} {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 ′displaystyle dr′sqrt ′1-{v^2}}{c {2}}}}}}}} {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}(3)

dt' is de werkelijke verandering in tijd van het deeltje
dt is de verandering in tijd van het deeltje
dr' is de werkelijke afgelegde afstand
dr is de verandering in afstand
v is de snelheid van het deeltje
c is de lichtsnelheid

Opmerking: het ware tijdsinterval en de ware afstand die het deeltje aflegt zijn anders dan de tijd en afstand die in de klassieke natuurkundeberekeningen worden berekend, omdat het deeltje in zo'n zwaar zwaar zwaartekrachtveld reist!

Met behulp van de vergelijking voor vlakke ruimtetijd in bolcoördinaten:

( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(dtheta )^{2}+r^2}in ^2}(dphi )^2}} {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}(4)

ds is het pad van het deeltje

θ \\\theta {\displaystyle \theta }is de invalshoek
d θ {\\\\\tta} {\displaystyle \theta }en d ϕ {\phi \phi } {\displaystyle \phi }zijn de verandering in de hoeken...

Het invoeren van de vergelijkingen voor ontsnappingssnelheid, tijddilatatie en lengtecontractie (vergelijkingen 1, 2 en 3) in de vergelijking voor vlakke ruimtetijd (vergelijking 4), om de Schwarzschild metrisch te krijgen:

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\playstyle (ds)^{2}=--c^2}(1-{\frac {rc{2}}))(dt)^2}+{frac {dr)}(1-{\frac {2GM}{rc{2}})}+r^2}(dtheta )^2}+r^2} {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}(5)

Uit deze vergelijking kunnen we de Schwarzschild radius halen ( r s {\playstyle r_{s}}{\displaystyle r_{s}} ), de radius van dit zwarte gat. Hoewel dit het meest gebruikt wordt om een Schwarzschild zwart gat te beschrijven, kan de Schwarzschild-straal berekend worden voor elk zwaar voorwerp.

( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\playstyle (ds)^{2}=--c... {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}(6)

r s {\playstyle r_s}{\displaystyle r_{s}} is de ingestelde straalgrens van het object

Vragen en antwoorden

V: Wat is de metriek van Schwarzschild?


A: De metriek van Schwarzschild is een vergelijking uit de algemene relativiteit in de astrofysica die beschrijft hoe een deeltje door de ruimte bij een zwart gat beweegt. Zij werd in 1916 door Karl Schwarzschild berekend als oplossing voor de veldvergelijkingen van Einstein.

V: Waar verwijst een metriek naar?


A: Een metriek verwijst naar een vergelijking die de ruimtetijd beschrijft; een Schwarzschild metriek beschrijft met name het zwaartekrachtsveld rond een zwart gat van Schwarzschild.

V: Wat zijn enkele kenmerken van het zwarte gat van Schwarzschild?


A: Het Schwarzschild-zwarte gat roteert niet, is bolvormig en heeft geen magnetisch veld. Bovendien is zijn kosmologische constante nul.

Vraag: Hoe kunnen we het gravitatieveld rond een Schwarzschild zwart gat beschrijven?


Antwoord: We kunnen het beschrijven met de Schwartzchild-metrische vergelijking die beschrijft hoe deeltjes door de ruimte bewegen in de buurt van dit type zwart gat.

V: Wie heeft deze vergelijking voor het eerst berekend?


A: Karl Schwartzchild berekende deze vergelijking voor het eerst als oplossing voor de veldvergelijkingen van Einstein in 1916.

V: Wat betekent (ds)^2 in deze vergelijking?


A: (ds)^2 staat voor de afstand tussen twee punten op ruimtetijd gemeten ten opzichte van tijd- en ruimtecoördinaten.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3