Hoewel een ingewikkelder manier om de Schwarzschild-metriek te berekenen kan worden gevonden met behulp van Christoffelsymbolen, kan deze ook worden afgeleid met behulp van de vergelijkingen voor ontsnappingssnelheid ( v e {\playstyle v_{e}}
), tijddilatatie (dt'), lengtecontractie (dr'):
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\frac {2GM}{r}}}}} 
(1)
v is de snelheid van het deeltje
G is de zwaartekrachtsconstante
M is de massa van het zwarte gat
r is hoe dicht het deeltje bij het zware voorwerp
is
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 ′displaystyle dt'=dt ′sqrt ′1-{\frac {v^2}}{c^{2}}}}}}} 
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 ′displaystyle dr′sqrt ′1-{v^2}}{c {2}}}}}}}} 
(3)
dt' is de werkelijke verandering in tijd van het deeltje
dt is de verandering in tijd van het deeltje
dr' is de werkelijke afgelegde afstand
dr is de verandering in afstand
v is de snelheid van het deeltje
c is de lichtsnelheid
Opmerking: het ware tijdsinterval en de ware afstand die het deeltje aflegt zijn anders dan de tijd en afstand die in de klassieke natuurkundeberekeningen worden berekend, omdat het deeltje in zo'n zwaar zwaar zwaartekrachtveld reist!
Met behulp van de vergelijking voor vlakke ruimtetijd in bolcoördinaten:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(dtheta )^{2}+r^2}in ^2}(dphi )^2}} 
(4)
ds is het pad van het deeltje
θ \\\theta 
is de invalshoek
d θ {\\\\\tta} en d ϕ {\phi \phi } 
zijn de verandering in de hoeken...
Het invoeren van de vergelijkingen voor ontsnappingssnelheid, tijddilatatie en lengtecontractie (vergelijkingen 1, 2 en 3) in de vergelijking voor vlakke ruimtetijd (vergelijking 4), om de Schwarzschild metrisch te krijgen:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\playstyle (ds)^{2}=--c^2}(1-{\frac {rc{2}}))(dt)^2}+{frac {dr)}(1-{\frac {2GM}{rc{2}})}+r^2}(dtheta )^2}+r^2} 
(5)
Uit deze vergelijking kunnen we de Schwarzschild radius halen ( r s {\playstyle r_{s}}
), de radius van dit zwarte gat. Hoewel dit het meest gebruikt wordt om een Schwarzschild zwart gat te beschrijven, kan de Schwarzschild-straal berekend worden voor elk zwaar voorwerp.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\playstyle (ds)^{2}=--c... 
(6)
r s {\playstyle r_s} is de ingestelde straalgrens van het object
