Kwadraatgetal
Een kwadraatgetal, soms ook een perfect kwadraat genoemd, is de uitkomst van een geheel getal vermenigvuldigd met zichzelf. 1, 4, 9, 16 en 25 zijn de eerste vijf kwadratische getallen. In een formule wordt het kwadraat van een getal n aangeduid met n2 (exponentiëren), meestal uitgesproken als "n kwadraat". De naam kwadraatgetal komt van de naam van de vorm; zie hieronder.
Vierkantsgetallen zijn niet-negatief. Een andere manier om te zeggen dat een (niet-negatief) getal een kwadraatgetal is, is dat de vierkantswortel weer een geheel getal is. Bijvoorbeeld, √9 = 3, dus 9 is een kwadraatgetal.
Voorbeelden
De vierkanten (sequentie A000290 in het OEIS) kleiner dan 702 zijn:
102 =100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
602 = 3600
612 = 3721
622 = 3844
632 = 3969
642 = 4096
652 = 4225
662 = 4356
672 = 4489
682 = 4624
692 = 4761
Er zijn oneindig veel kwadratische getallen, zoals er oneindig veel natuurlijke getallen zijn.
Eigenschappen
Het getal m is een kwadraatgetal als en slechts als men een kwadraat kan samenstellen uit m gelijke (mindere) kwadraten:
| m = 12 = 1 |
|
| m = 22 = 4 |
|
| m = 32 = 9 |
|
| m = 42 = 16 |
|
| m = 52 = 25 |
|
| Opmerking: Witte openingen tussen de vierkantjes dienen alleen om de visuele waarneming te verbeteren. | |
Een vierkant met zijde n heeft oppervlakte n2.
De uitdrukking voor het n-de kwadraatgetal is n2. Dit is ook gelijk aan de som van de eerste n oneven getallen zoals te zien is in de bovenstaande afbeeldingen, waar een vierkant ontstaat uit het vorige door een oneven aantal punten op te tellen (in magenta). De formule volgt:
n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {{k=1}^{n}(2k-1). } 
Dus bijvoorbeeld, 52 =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Een kwadraatgetal kan alleen eindigen met de cijfers 0, 1, 4, 6, 9, of 25 in basis 10, als volgt:
- Als het laatste cijfer van een getal een 0 is, moet het kwadraat eindigen in een even aantal 0's (dus minstens 00) en moeten de cijfers die aan de eindnullen voorafgaan ook een kwadraat vormen.
- Als het laatste cijfer van een getal 1 of 9 is, eindigt het kwadraat op 1 en moet het getal gevormd door de voorgaande cijfers deelbaar zijn door vier.
- Als het laatste cijfer van een getal 2 of 8 is, eindigt het kwadraat op 4 en moet het cijfer dat eraan voorafgaat even zijn.
- Indien het laatste cijfer van een getal 3 of 7 is, eindigt het kwadraat op 9 en moet het getal gevormd door de voorgaande cijfers deelbaar zijn door vier.
- Als het laatste cijfer van een getal 4 of 6 is, eindigt het kwadraat op 6 en moet het cijfer dat eraan voorafgaat oneven zijn.
- Als het laatste cijfer van een getal 5 is, eindigt het kwadraat op 25 en moeten de voorgaande cijfers 0, 2, 06 of 56 zijn.
Een kwadraatgetal kan geen perfect getal zijn.
Alle vierde machten, zesde machten, achtste machten enzovoort zijn perfecte vierkanten.
Speciale gevallen
- Als het getal de vorm m5 heeft waarbij m de voorgaande cijfers voorstelt, is het kwadraat n25 waarbij n = m × (m + 1) en de cijfers voor 25 voorstelt. Bijvoorbeeld het kwadraat van 65 kan worden berekend door n = 6 × (6 + 1) = 42 waardoor het kwadraat gelijk is aan 4225.
- Als het getal de vorm m0 heeft, waarbij m de voorgaande cijfers voorstelt, is het kwadraat n00, waarbij n = m2. Bijvoorbeeld het kwadraat van 70 is 4900.
- Als het getal twee cijfers heeft en de vorm 5m heeft, waarbij m het cijfer van de eenheid is, is het kwadraat AABB, waarbij AA = 25 + m en BB = m2. Voorbeeld: Om het kwadraat van 57 te berekenen, moet 25 + 7 = 32 en 72 = 49, wat betekent dat 572 = 3249.
Oneven en even kwadraatgetallen
Kwadraten van even getallen zijn even (en in feite deelbaar door 4), want (2n)2 = 4n2.
Kwadraten van oneven getallen zijn oneven, want (2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1.
Hieruit volgt dat vierkantswortels van even kwadratische getallen even zijn, en vierkantswortels van oneven kwadratische getallen oneven zijn.
Aangezien alle even kwadraatgetallen deelbaar zijn door 4, zijn de even getallen van de vorm 4n + 2 geen kwadraatgetallen.
Aangezien alle oneven kwadratische getallen van de vorm 4n + 1 zijn, zijn de oneven getallen van de vorm 4n + 3 geen kwadratische getallen.
De kwadraten van oneven getallen hebben de vorm 8n + 1, want (2n + 1)2 = 4n(n + 1) + 1 en n(n + 1) is een even getal.
