Kwadraatgetal

De vierkanten (sequentie A000290 in het OEIS) kleiner dan 702 zijn:

Er zijn oneindig veel kwadratische getallen, zoals er oneindig veel natuurlijke getallen zijn.

Het getal m is een kwadraatgetal als en slechts als men een kwadraat kan samenstellen uit m gelijke (mindere) kwadraten:

Een vierkant met zijde n heeft oppervlakte n2.

De uitdrukking voor het n-de kwadraatgetal is n2. Dit is ook gelijk aan de som van de eerste n oneven getallen zoals te zien is in de bovenstaande afbeeldingen, waar een vierkant ontstaat uit het vorige door een oneven aantal punten op te tellen (in magenta). De formule volgt:

n 2 = ∑ k = 1 n ( 2 k - 1 ) . {{k=1}^{n}(2k-1). }

Dus bijvoorbeeld, ⁵² =25= 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Een kwadraatgetal kan alleen eindigen met de cijfers 0, 1, 4, 6, 9, of 25 in basis 10, als volgt:

1. Als het laatste cijfer van een getal een 0 is, moet het kwadraat eindigen in een even aantal 0's (dus minstens 00) en moeten de cijfers die aan de eindnullen voorafgaan ook een kwadraat vormen.
2. Als het laatste cijfer van een getal 1 of 9 is, eindigt het kwadraat op 1 en moet het getal gevormd door de voorgaande cijfers deelbaar zijn door vier.
3. Als het laatste cijfer van een getal 2 of 8 is, eindigt het kwadraat op 4 en moet het cijfer dat eraan voorafgaat even zijn.
4. Indien het laatste cijfer van een getal 3 of 7 is, eindigt het kwadraat op 9 en moet het getal gevormd door de voorgaande cijfers deelbaar zijn door vier.
5. Als het laatste cijfer van een getal 4 of 6 is, eindigt het kwadraat op 6 en moet het cijfer dat eraan voorafgaat oneven zijn.
6. Als het laatste cijfer van een getal 5 is, eindigt het kwadraat op 25 en moeten de voorgaande cijfers 0, 2, 06 of 56 zijn.

Een kwadraatgetal kan geen perfect getal zijn.

Alle vierde machten, zesde machten, achtste machten enzovoort zijn perfecte vierkanten.

• Als het getal de vorm m5 heeft waarbij m de voorgaande cijfers voorstelt, is het kwadraat n25 waarbij n = m × (m + 1) en de cijfers voor 25 voorstelt. Bijvoorbeeld het kwadraat van 65 kan worden berekend door n = 6 × (6 + 1) = 42 waardoor het kwadraat gelijk is aan 4225.
• Als het getal de vorm m0 heeft, waarbij m de voorgaande cijfers voorstelt, is het kwadraat n00, waarbij n = ^m2. Bijvoorbeeld het kwadraat van 70 is 4900.
• Als het getal twee cijfers heeft en de vorm 5m heeft, waarbij m het cijfer van de eenheid is, is het kwadraat AABB, waarbij AA = 25 + m en BB = ^m2. Voorbeeld: Om het kwadraat van 57 te berekenen, moet 25 + 7 = 32 en ⁷² = 49, wat betekent dat 572 = 3249.

Kwadraten van even getallen zijn even (en in feite deelbaar door 4), want (2n)² = 4n2.

Kwadraten van oneven getallen zijn oneven, want (2n + 1)² = 4(n2 + n) + 1.

Hieruit volgt dat vierkantswortels van even kwadratische getallen even zijn, en vierkantswortels van oneven kwadratische getallen oneven zijn.

Aangezien alle even kwadraatgetallen deelbaar zijn door 4, zijn de even getallen van de vorm 4n + 2 geen kwadraatgetallen.

Aangezien alle oneven kwadratische getallen van de vorm 4n + 1 zijn, zijn de oneven getallen van de vorm 4n + 3 geen kwadratische getallen.

De kwadraten van oneven getallen hebben de vorm 8n + 1, want (2n + 1)² = 4n(n + 1) + 1 en n(n + 1) is een even getal.