Perfect nummer

Euclides ontdekte dat de eerste vier perfecte getallen voortkomen uit de formule 2^n-1 (2ⁿ - 1):

voor n = 2: 2¹ (2² - 1) = 6

voor n = 3: 2² (2³ - 1) = 28

voor n = 5: 2⁴ (2⁵ - 1) = 496

voor n = 7: 2⁶ (2⁷ - 1) = 8128

Euclides zag dat 2ⁿ - 1 in deze vier gevallen een priemgetal is. Vervolgens bewees hij dat de formule 2^n-1 (2ⁿ - 1) een even volmaakt getal geeft wanneer 2ⁿ - 1 priem is (Euclides, Prop. IX.36).

De oude wiskundigen deden veel aannames over perfecte getallen op basis van de vier die ze kenden. De meeste aannames waren fout. Een van die aannames was dat, aangezien 2, 3, 5 en 7 precies de eerste vier priemgetallen zijn, het vijfde perfecte getal zou worden verkregen als n = 11, het vijfde priemgetal. Maar 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89 is geen priemgetal en daarom geeft n = 11 geen perfect getal. Twee andere verkeerde aannames waren:

• Het vijfde perfecte getal zou vijf cijfers hebben, aangezien de eerste vier respectievelijk 1, 2, 3 en 4 cijfers hadden.
• De perfecte getallen zouden afwisselend eindigen op 6 of 8.

Het vijfde perfecte getal ( 33550336 = 2 12 ( 2 13 - 1 ) { 33550336=2^{12}(2^{13}-1)} ) heeft 8 cijfers. Dit weerlegt de eerste aanname. Voor de tweede aanname eindigt het vijfde perfecte getal inderdaad op een 6. Het zesde (8 589 869 056) eindigt echter ook op een 6. Het is eenvoudig aan te tonen dat het laatste cijfer van elk even perfect getal 6 of 8 moet zijn.

Om 2 n - 1 {\displaystyle 2^{n}-1} priem te laten zijn, moet n {\displaystyle n} priem zijn. Priemgetallen van de vorm 2ⁿ - 1 staan bekend als Mersenne-priemgetallen, naar de zeventiende-eeuwse monnik Marin Mersenne, die de getaltheorie en perfecte getallen bestudeerde.

Twee millennia na Euclides bewees Euler dat de formule 2^n-1 (2ⁿ - 1) alle even perfecte getallen oplevert. Daarom zal elk Mersenne-priemgetal een even perfect getal opleveren - er is een concreet één-op-één verband tussen even perfecte getallen en Mersenne-priemgetallen. Dit resultaat wordt vaak de "stelling van Euclides-Euler" genoemd. Tot januari 2013 zijn er slechts 48 Mersenne-priemgetallen bekend. Dit betekent dat er 48 perfecte getallen bekend zijn, waarvan de grootste 2^57,885,160 × (2^57,885,161 - 1) is met 34.850.340 cijfers.

De eerste 42 even perfecte getallen zijn 2^n-1 (2ⁿ - 1) voor

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951 (sequentie A000043 in het OEIS).

De andere 7 bekende zijn voor n = 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281. Het is momenteel niet bekend of er nog andere tussen zitten.

Het is nog steeds niet bekend of er oneindig veel Mersenne-priemgetallen en perfecte getallen bestaan. De zoektocht naar nieuwe Mersenne priemgetallen is het doel van het GIMPS distributed computing project.

Aangezien elk even volmaakt getal de vorm 2^n-1 (2ⁿ - 1) heeft, is het een driehoeksgetal, en zoals alle driehoeksgetallen is het de som van alle natuurlijke getallen tot een bepaald punt; in dit geval: 2ⁿ - 1. Ook is elk even volmaakt getal behalve het eerste de som van de eerste 2^(n-1)/2 oneven kubussen:

6 = 2 1 ( 2 2 - 1 ) = 1 + 2 + 3 , {Displaystyle 6=2^{1}(2^{2}-1)=1+2+3,}.

28 = 2 2 ( 2 3 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 1 3 + 3 3 , {\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1+2+3+4+5+6+7=1^{3}+3^{3},\,}

496 = 2 4 ( 2 5 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 29 + 30 + 31 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 , {\displaystyle 496=2^{4}(2^{5}-1)=1+2+3+decots +29+30+31=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3},\displaystyle,}

8128 = 2 6 ( 2 7 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 125 + 126 + 127 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3 . {\displaystyle 8128=2^{6}(2^{7}-1)=1+2+3+\cdots +125+126+127=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}.\,}

33550336 = 2 1 3 ( 2 1 4 - 1 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 8188 + 8189 + 8190 + 8191 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + ⋯ + 4089 3 + 4091 3 + 4095 3 . {\displaystyle 33550336=2^{1}3(2^{1}4-1)=1+2+3+4+\cdots +8188+8189+8190+8191=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+\cdots +4089^{3}+4091^{3}+4095^{3}. }  

Het is niet bekend of er oneven volmaakte getallen bestaan. Er zijn verschillende resultaten verkregen, maar geen enkele heeft geholpen om er een te vinden of anderszins de kwestie van hun bestaan op te lossen. Carl Pomerance heeft een heuristisch argument gepresenteerd dat suggereert dat er geen oneven volmaakte getallen bestaan.[1] Ook is verondersteld dat er geen oneven harmonische getallen van Ore bestaan. Als dat waar is, zou dat betekenen dat er geen oneven volmaakte getallen bestaan.

Elk oneven volmaakt getal N moet aan de volgende voorwaarden voldoen:

• N > 10³⁰⁰ . Waarschijnlijk zal in de nabije toekomst bewezen worden dat N > 10⁵⁰⁰ . [2]
• N is van de vorm

N = q α p 1 2 e 1 ... p k 2 e k , {\displaystyle N=q^{\alpha }p_{1}^{2e_{1}}\ldots p_{k}^{2e_{k}},}

waar:

·         q, p₁ , ..., p_k zijn verschillende priemgetallen.

·         q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler).

Bewijs

Laat n = p 0 e 0 p 1 e 1 . . . p r e r {\displaystyle n=p_{0}^{e_{0}}p_{1}^{e_{1}}...p_{r}^{e_{r}}} een oneven volmaakt getal zijn. Aangezien de delerfunctie vermenigvuldigend is, is 2 n = σ ( n ) = σ ( p 0 e 0 ) σ ( p 1 e 1 ) . . σ ( p r k r ) } .

σ ( p 0 e 0 ) {\displaystyle \sigma (p_{0}^{e_{0}})} moet een even zijn die niet deelbaar is door 4 en alle overige moeten oneven zijn.

σ ( p 0 e 0 ) ≡ e 0 + 1 ( mod 4 ) {\displaystyle \sigma (p_{0}^{e_{0}})\equiv e_{0}+1{\pmod {4}}} krachten e 0 ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle e_{0}\equiv 1{\pmod {4}}} .

• Ofwel q^α > 10²⁰ , ofwel p j 2 e j {\displaystyle p_{j}^{2e_{j}}} > 10²⁰ voor sommige j (Cohen 1987).
• N < 2 4 k (Nielsen 2003).
• De relatie e 1 {playstyle e_{1}} ≡ e 2 {{2}} ...≡ e k {{displaystyle e_{k}} ≡ 1 (modulo 3) is niet voldaan (McDaniel 1970).
• De kleinste priemfactor van N is kleiner dan (2k + 8) / 3 (Grün 1952).

• De grootste priemfactor van N is groter dan 10⁸ (Takeshi Goto en Yasuo Ohno, 2006).
• De op één na grootste priemfactor is groter dan 10⁴ , en de op twee na grootste priemfactor is groter dan 100 (Iannucci 1999, 2000).
• N heeft minstens 75 priemfactoren; en minstens 9 verschillende priemfactoren. Als 3 niet één van de factoren van N is, dan heeft N minstens 12 verschillende priemfactoren (Nielsen 2006; Kevin Hare 2005).

Even perfecte getallen hebben een zeer precieze vorm; oneven perfecte getallen zijn zeldzaam, als ze al bestaan. Er zijn een aantal resultaten over perfecte getallen die eigenlijk vrij eenvoudig te bewijzen zijn, maar niettemin oppervlakkig indrukwekkend; sommige daarvan vallen ook onder Richard Guy's Strong Law of Small Numbers:

• Elk oneven volmaakt getal is van de vorm 12m + 1 of 4356m + 1089 of 468m + 117 of 2916m + 729 (Roberts 2008).
• Een oneven volmaakt getal is niet deelbaar door 105 (Kühnel 1949).
• Elk oneven volmaakt getal is de som van twee kwadraten (Stuyvaert 1896).
• Een Fermat-getal kan geen perfect getal zijn (Luca 2000).
• Het enige even perfecte getal van de vorm x 3 + 1 {{3}+1} is 28 (Makowski 1962).
• Door de definitie te delen door het perfecte getal N, moeten de reciprocals van de factoren van een perfect getal N opgeteld 2 zijn:
• Voor 6 hebben we 1 / 6 + 1 / 3 + 1 / 2 + 1 / 1 = 2 {\displaystyle 1/6+1/3+1/2+1/1=2} ;
• Voor 28 hebben we 1 / 28 + 1 / 14 + 1 / 7 + 1 / 4 + 1 / 2 + 1 / 1 = 2 {\displaystyle 1/28+1/14+1/7+1/4+1/2+1/1=2}. enz.
• Het aantal delers van een perfect getal (even of oneven) moet even zijn, want N kan geen perfect vierkant zijn.
• Uit deze twee resultaten volgt dat elk volmaakt getal een harmonisch getal van Erts is.

De som van juiste delers geeft verschillende andere soorten getallen. Getallen waarvan de som kleiner is dan het getal zelf, worden deficiënt genoemd, en waar de som groter is dan het getal, overvloedig. Deze termen, samen met perfect zelf, komen uit de Griekse numerologie. Een paar getallen die de som zijn van elkaars eigenlijke delers worden vriendschappelijk genoemd, en grotere cycli van getallen worden vriendschappelijk genoemd. Een positief geheel getal zodanig dat elk kleiner positief geheel getal een som is van verschillende delers ervan is een praktisch getal.

Een volmaakt getal is per definitie een vast punt van de beperkte delersomfunctie s(n) = σ(n) - n, en de bij een volmaakt getal behorende aliquotreeks is een constante reeks.