Machtsverheffen

In de wiskunde is exponentiëren (macht) een rekenkundige bewerking op getallen. Het kan worden beschouwd als een herhaalde vermenigvuldiging, net zoals vermenigvuldiging kan worden beschouwd als een herhaalde optelling.

In het algemeen, gegeven twee getallen x en y. kan de exponentiatie van x {displaystyle x} en y {displaystyle y} worden geschreven als x y {{y}} $x^{y}$ en gelezen worden als "x {displaystyle x} verheven tot de macht van y {displaystyle y} ", of "x {displaystyle x} tot de macht y {displaystyle y} ". In het verleden zijn ook andere methoden van wiskundige notatie gebruikt. Wanneer de bovenste index niet kan worden geschreven, kunnen mensen machten schrijven met de ^- of **-tekens, zodat 2^4 of 2**4 betekent 2 4 {{4}}. $2^{4}$ .

Hierbij wordt het getal x basis genoemd en het getal y exponent. Bijvoorbeeld, in 2 4 {{4}} $2^{4}$ is 2 de basis en 4 de exponent.

Om 2 4 te berekenen {{4}} $2^{4}$ hoeft men slechts 4 exemplaren van 2 te vermenigvuldigen. Dus 2 4 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {{4}=2 ⋅ 2 ⋅ 2} $2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$ , en het resultaat is 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 ⋅. $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$ . De vergelijking kan hardop gelezen worden als "2 tot de macht 4 is 16".

Meer voorbeelden van exponentiëren zijn:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {{x}=1} $1^{x}=1$ voor elk getal x

Als de exponent gelijk is aan 2, dan wordt de macht vierkant genoemd, omdat de oppervlakte van een vierkant wordt berekend met behulp van een 2 {{2}} $a^{2}$ . Dus

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ is het kwadraat van x {\displaystyle x}

Evenzo, als de exponent gelijk is aan 3, dan heet de macht kubus, omdat het volume van een kubus wordt berekend met behulp van een 3 {{3}} $a^{3}$ . Dus

x 3 {{3}} $x^{3}$ is de kubus van x {{3}}.

Als de exponent gelijk is aan -1, dan is de macht gewoon de reciproke van de basis. Dus

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Indien de exponent een geheel getal kleiner dan 0 is, dan is de macht de reciproke verheven tot de tegengestelde exponent. Bijvoorbeeld:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}={{frac {1}{2}}right)^{3}={{frac {1}{8}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Als de exponent gelijk is aan 1 2 {displaystyle {tfrac {1}{2}}} ${\tfrac {1}{2}}$ dan is het resultaat van de exponent de vierkantswortel van de basis, met x 1 2 = x . $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Bijvoorbeeld:

4 1 2 = 4 = 2 {displaystyle 4^{frac {1}{2}}={{sqrt {4}}=2}} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Evenzo, als de exponent 1 n is {{displaystyle {{tfrac {1}{n}}}}, dan is het resultaat de n-de wortel. ${\tfrac {1}{n}}$ dan is het resultaat de n-de wortel, waarbij:

a 1 n = a n {displaystyle a^{frac {1}{n}}={{sqrt[{n}]{a}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Als de exponent een rationaal getal p q is {displaystyle {{p}{q}}} ${\tfrac {p}{q}}$ dan is het resultaat de q-de wortel van de basis, verheven tot de macht p:

a p q = a p q {displaystyle a^{frac {p}{q}}={{sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

In sommige gevallen is de exponent niet eens rationaal. Om een basis a tot een irrationele xe macht te verheffen, gebruiken we een oneindige reeks van rationale getallen (x_n ), waarvan de limiet x is:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=lim _{nto \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

zoals dit:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=lim _{nto \infty }a^{x_{n}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Er zijn enkele regels die het berekenen van exponenten vergemakkelijken:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {{displaystyle ^left(acdot bright)^{n}=a^{n} {}b^{n}}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {{displaystyle ^left({frac {a}{b}}}) ^{n}={{frac {a^{n}}{b^{n}}},çquad b{neq 0}}. $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {displaystyle {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {{displaystyle a^{-n}={{frac {1}{a^{n}}},\quad a{neq 0}} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {{displaystyle \left(a^{r}right)^{s}=a^{rcdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {Displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Het is mogelijk de exponentiatie van matrices te berekenen. In dat geval moet de matrix vierkant zijn. Bijvoorbeeld, I 2 = I ⋅ I = I {{2}=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Commutativiteit

Zowel optellen als vermenigvuldigen is commutatief. Bijvoorbeeld, 2+3 is hetzelfde als 3+2, en 2 - 3 is hetzelfde als 3 - 2. Hoewel exponentiëren herhaalde vermenigvuldiging is, is het niet commutatief. Bijvoorbeeld, 2³=8, maar 3²=9.

Inverse operaties

Optellen heeft een inverse bewerking: aftrekken. Ook vermenigvuldiging heeft een inverse bewerking: deling.

Maar exponentiëren heeft twee inverse bewerkingen: De wortel en de logaritme. Dit is het geval omdat de exponentiatie niet commutatief is. U kunt dit zien in dit voorbeeld:

Als u x+2=3 hebt, dan kunt u met aftrekken vaststellen dat x=3-2. Hetzelfde geldt als u 2+x=3 hebt: dan krijgt u ook x=3-2. Dit komt omdat x+2 hetzelfde is als 2+x.
Als je x - 2=3 hebt, dan kun je met deling uitvinden dat x= 3 2 {{textstyle {\frac {3}{2}}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Hetzelfde geldt als je 2 - x=3 hebt: dan krijg je ook x= 3 2 {textstyle {frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Dit komt omdat x - 2 hetzelfde is als 2 - x
Als u x²=3 hebt, dan gebruikt u de (vierkants)wortel om x te bepalen: u krijgt het resultaat dat x = 3 2 {textstyle {sqrt[{2}]{3}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Als u echter 2^x =3 hebt, dan kunt u de wortel niet gebruiken om x te berekenen. In plaats daarvan moet u de (binaire) logaritme gebruiken om x te berekenen: u krijgt dan het resultaat dat x=log₂ (3).

Gerelateerde pagina's

Exponent
Exponentiële functie
Exponentiëren door kwadrateren
Tetratie

Vragen en antwoorden

V: Wat is exponentiëren?

A: Exponentiëren is een rekenkundige bewerking op getallen die kan worden beschouwd als een herhaalde vermenigvuldiging.

V: Hoe wordt exponentiatie geschreven?

A: Exponentiëren wordt meestal geschreven als x^y, waarbij x de basis is en y de exponent. Het kan ook worden geschreven met de tekens ^ of **, zoals 2^4 of 2**4.

V: Wat zijn enkele voorbeelden van exponentiëring?

A: Voorbeelden van exponentiëren zijn 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 voor elk getal x; en 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

V: Wat betekent het als de exponent gelijk is aan -1?

A: Als de exponent gelijk is aan -1, dan is de macht gewoon het reciproke van de basis (x^(-1) = 1/x).

Vraag: Hoe bereken je een irrationale macht van een basis?

Antwoord: Om een basis a tot een irrationele xe macht te verheffen, gebruiken we een oneindige reeks rationale getallen (xn), waarvan de limiet x is (a^x = lim n->oneindigheid a^(x_n)).

V: Zijn er regels die het berekenen van exponenten gemakkelijker maken?

A: Ja, er zijn verschillende regels die het berekenen van exponenten gemakkelijker maken. Deze omvatten (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s=a ^ (r + s); enzovoort.