In de wiskunde is exponentiëren (macht) een rekenkundige bewerking op getallen. Het kan worden beschouwd als een herhaalde vermenigvuldiging, net zoals vermenigvuldiging kan worden beschouwd als een herhaalde optelling.

In het algemeen, gegeven twee getallen x en ykan de exponentiatie van x en y worden geschreven als {\displaystyle x^{y}}en gelezen worden als "x verheven tot de macht van y", of "x y ". In het verleden zijn ook andere methoden van wiskundige notatie gebruikt. Wanneer de bovenste index niet kan worden geschreven, kunnen mensen machten schrijven met de ^- of **-tekens, zodat 2^4 of 2**4 betekent {\displaystyle 2^{4}}.

Hierbij wordt het getal x basis genoemd en het getal y exponent. Bijvoorbeeld, in {\displaystyle 2^{4}}is 2 de basis en 4 de exponent.

Om berekenen {\displaystyle 2^{4}}hoeft men slechts 4 exemplaren van 2 te vermenigvuldigen. Dus ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {{4}=2 ⋅ 2 ⋅ 2}{\displaystyle 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2} , en het resultaat is ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 ⋅. {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16}. De vergelijking kan hardop gelezen worden als "2 tot de macht 4 is 16".

Meer voorbeelden van exponentiëren zijn:

  • {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
  • {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
  • {\displaystyle 1^{x}=1} voor elk getal x

Als de exponent gelijk is aan 2, dan wordt de macht vierkant genoemd, omdat de oppervlakte van een vierkant wordt berekend met behulp van {\displaystyle a^{2}}. Dus

{\displaystyle x^{2}} is het kwadraat van x

Evenzo, als de exponent gelijk is aan 3, dan heet de macht kubus, omdat het volume van een kubus wordt berekend met behulp van {\displaystyle a^{3}}. Dus

{\displaystyle x^{3}} is de kubus van x

Als de exponent gelijk is aan -1, dan is de macht gewoon de reciproke van de basis. Dus

{\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}

Indien de exponent een geheel getal kleiner dan 0 is, dan is de macht de reciproke verheven tot de tegengestelde exponent. Bijvoorbeeld:

{\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}

Als de exponent gelijk is aan {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}dan is het resultaat van de exponent de vierkantswortel van de basis, met {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.}Bijvoorbeeld:

{\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}

Evenzo, als de exponent {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}dan is het resultaat de n-de wortel, waarbij:

{\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}

Als de exponent een rationaal getal {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}dan is het resultaat de q-de wortel van de basis, verheven tot de macht p:

{\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

In sommige gevallen is de exponent niet eens rationaal. Om een basis a tot een irrationele xe macht te verheffen, gebruiken we een oneindige reeks van rationale getallen (xn ), waarvan de limiet x is:

{\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

zoals dit:

{\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}

Er zijn enkele regels die het berekenen van exponenten vergemakkelijken:

  • {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}
  • {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0}
  • {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}
  • {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
  • {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}
  • {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}
  • {\displaystyle a^{0}=1}

Het is mogelijk de exponentiatie van matrices te berekenen. In dat geval moet de matrix vierkant zijn. Bijvoorbeeld, ⋅ I = I {{2}=I}{\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} .