Machtsverheffen

Exponentiatie (vermogen) is een rekenkundige bewerking op getallen. Het is herhaalde vermenigvuldiging, net zoals vermenigvuldiging herhaalde optelling is. Mensen schrijven exponentiatie met de bovenste index. Dit ziet er als volgt uit: x y {\playstyle x^y} {\displaystyle x^{y}}. Andere methoden van wiskundige notatie zijn in het verleden gebruikt. Bij het schrijven met apparatuur die de bovenste index niet kan gebruiken, schrijven mensen krachten met behulp van de ^ of ** tekens, dus 2^3 of 2**3 betekent 2 3 {displaystyle 2^{3}} {\displaystyle 2^{3}}.

Het nummer x wordt xbasis genoemd, en het nummer y wordt yexponent genoemd. Bijvoorbeeld, in 2 3 {\\\playstyle 2^{3}} {\displaystyle 2^{3}}...2 is de basis en 3 is de exponent.

Om 2 3 {\\\\3}{\displaystyle 2^{3}} te berekenen moet een persoon het getal 2 met zichzelf 3 keer vermenigvuldigen. Dus 2 3 = 2 2 2 {\playstyle 2^{3}=2 \cdot 2 \cdot 2} {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2}. Het resultaat is 2 2 2 = 8 {\\cdot 2\cdot 2=8}{\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} . De vergelijking kan op deze manier hardop worden voorgelezen: 2 verhoogd tot de kracht van 3 is gelijk aan 8.

Voorbeelden:

  • 5 3 = 5 5 5 = 125 {\\cdot {3}=5 \cdot {\cdot {\cdot }5=125} {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
  • x 2 = x x {\playstyle x^{2}=xcdot {}x} {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
  • 1 x = 1 {\playstyle 1^{x}=1}{\displaystyle 1^{x}=1} voor elk getal x

Als de exponent gelijk is aan 2, dan wordt de macht vierkant genoemd omdat de oppervlakte van een vierkant wordt berekend met behulp van een 2 {\\\\\\2} {\displaystyle a^{2}}. Dus

x 2 {displaystyle x^2}{\displaystyle x^{2}} is het kwadraat van x {displaystyle x} x

Als de exponent gelijk is aan 3, dan wordt het vermogen kubus genoemd omdat het volume van een kubus wordt berekend met een 3 {\\\\\\ {\displaystyle a^{3}}. Dus

x 3 {\\\\\\3}{\displaystyle x^{3}} is de kubus van x {\\\\\\\\\\\ x

Als de exponent gelijk is aan -1 dan moet de persoon de inverse van de basis berekenen. Dus

x - 1 = 1 x x speelstijl x ^-1}={frac {1}{x}} {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}

Als de exponent een geheel getal is en minder dan 0, dan moet de persoon het getal omkeren en het vermogen berekenen. Bijvoorbeeld:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\\frac {-3}=links(\frac {1}{2}}rechts){3}={\frac {1}{8}}} {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}

Als de exponent gelijk is aan 1 2 {\frac {1}{2}}{\displaystyle {\frac {1}{2}}} dan is het resultaat van exponentiatie de vierkantswortel van de basis. Dus x 1 2 = x . {\frac {1}{2}}={sqrt {x}}. } {\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.}Voorbeeld:

4 1 2 = 4 = 2 {\frac {1}{2}}={sqrt {4}}=2} {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}

Op dezelfde manier, als de exponent 1 n vertoningstijl is, {\displaystyle {\frac {1}{n}}}is het resultaat de n-de wortel, dus:

a 1 n = a n n {\frac {\frac }= {sqrt [{n}]{a}}} {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}

Als de exponent een rationeel getal p q is, dan is dat een soort weergave... {\displaystyle {\frac {p}{q}}}dan is het resultaat de qth-wortel van de basis verheven tot de kracht van p, dus:

a p q = a p q {\frac {q}{\frac {q}= {sqrt [{q}] {a {p}}}}}}. {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

De exponent is misschien niet eens rationeel. Om een basis a tot een irrationele xde macht te verheffen, gebruiken we een oneindige reeks rationele getallen (xi), waarvan de limiet x is:

x = lim n → ∞ x n {\\\\\\\\\le x=lim... _x_{n} {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

zoals dit:

a x = lim n → ∞ a x n {displaystyle a^{x}=lim. _ {niet te veel }a^{x_{n}} {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}

Er zijn enkele regels die helpen bij het berekenen van de bevoegdheden:

  • ( a b ) n = a n b n \\cdot bright)^ {n}=a^cdot {n} {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}
  • n = a n b n, b ≠ 0, links, rechts. {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0}
  • a r a s = a r + s {\\cdot {\cdot }a^{s}=a^{r+s}} {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}
  • a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\frac {a {r}}=a^^r-s},\quad aneq 0} {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
  • a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\\frac {n}={\frac {1}{a^n}},\neq 0},\quad aneq 0} {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0}
  • s = a r s {\\\an8}Spelstijl links {\\an8}=a {\cdot s} {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}
  • a 0 = 1 {\\\\\\\\\\=1} {\displaystyle a^{0}=1}

Het is mogelijk om de exponentiatie van de matrices te berekenen. De matrix moet vierkant zijn. Bijvoorbeeld: I 2 = I I = I \playstyle I^{2}=Icdot I=I}{\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} .

Commutativiteit

Zowel de optelling als de vermenigvuldiging zijn commutatief. Bijvoorbeeld, 2+3 is hetzelfde als 3+2; en 2 - 3 is hetzelfde als 3 - 2. Hoewel exponentiatie herhaalde vermenigvuldiging is, is het niet commutatief. Bijvoorbeeld, 2³=8 maar 3²=9.

Omgekeerde operaties

Toevoeging heeft een omgekeerde werking: aftrekken. Ook heeft de vermenigvuldiging één inverse bewerking: deling.

Maar exponentiatie heeft twee inverse operaties: De wortel en het logaritme. Dit is het geval omdat de exponentiatie niet commutatief is. Dat zie je in dit voorbeeld:

  • Als je x+2=3 hebt, dan kun je aftrekken om erachter te komen dat x=3-2. Dit is hetzelfde als wanneer je 2+x=3 hebt: je krijgt ook x=3-2. Dit komt omdat x+2 hetzelfde is als 2+x.
  • Als je x - 2=3 hebt, dan kun je de verdeling gebruiken om erachter te komen dat x= 3 2 {\frac {3}{2}} {\textstyle {\frac {3}{2}}}. Dit is hetzelfde als je 2 - x=3: Je krijgt ook x= 3 2 {\frac {3}{2}}} {\textstyle {\frac {3}{2}}}. Dit komt omdat x - 2 hetzelfde is als 2 - x
  • Als je x²=3 hebt, dan gebruik je de (vierkants)wortel om x uit te zoeken: Je krijgt het resultaat x = 3 2. {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}. Als je echter 2x=3 hebt, dan kun je de wortel niet gebruiken om x uit te zoeken: Je krijgt het resultaat x=log2(3).

Gerelateerde pagina's

  • Exponent

AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3