Cilinder (meetkunde) | een van de meest elementaire gebogen driedimensionale geometrische vormen

In het algemeen wordt onder een cilinder verstaan een eindige doorsnede van een rechte cirkelvormige cilinder, d.w.z. de cilinder met de voortbrengende lijnen loodrecht op de bodems, met de uiteinden gesloten om twee cirkelvormige oppervlakken te vormen, zoals in de figuur (rechts). Indien de cilinder een straal r en lengte (hoogte) h heeft, dan is zijn volume gegeven door:

V = πr² h

en de oppervlakte ervan is:

• de oppervlakte van de bovenkant (πr² ) +
• de oppervlakte van de bodem (πr² ) +
• de oppervlakte van de zijde (2πrh).

Daarom is de oppervlakte zonder de boven- of onderkant (lateraal gebied):

A = 2πrh.

Met de boven- en onderkant is de oppervlakte:

A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h).

Voor een gegeven volume heeft de cilinder met de kleinste oppervlakte h = 2r. Voor een gegeven oppervlakte heeft de cilinder met het grootste volume h = 2r, d.w.z. de cilinder past in een kubus (hoogte = diameter).

Een rechthoekige cilinder met een hoogte h eenheden en een basis met straal r eenheden met de coördinaatassen zo gekozen dat de oorsprong in het midden van een basis ligt en de hoogte wordt gemeten langs de positieve x-as. Een vlakke doorsnede op een afstand van x eenheden van de oorsprong heeft een oppervlakte van A(x) vierkante eenheden waarbij

A ( x ) = π r 2 {A(x)=pi r^{2}}

of

A ( y ) = π r 2 {Displaystyle A(y)=pi r^{2}}

Een volume-element, is een rechte cilinder met basisoppervlakte Aw_i vierkante eenheden en een dikte van Δ_i x eenheden. Dus als V kubieke eenheden het volume is van de rechter cilinder, door Riemann sommen,

V o l u m e v a n c y l i n d e r = lim | Δ → 0 | ∑ i = 1 n A ( w i ) Δ i x {displaystyle \mathrm {Volume;van;cilinder} = som _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {{displaystyle ={h}A(y)^{2},dy}.

= ∫ 0 h π r 2 d y {displaystyle ={0}^{h}pi r^{2},dy}

= π r 2 h {{displaystyle = ^{2}},r,h}.

Met behulp van cilindrische coördinaten kan het volume worden berekend door integratie over

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {displaystyle = {{0}^{h}}}int _{0}^{2{pi}s,ds,dz}.

= π r 2 h {{displaystyle = ^{2}},r,h}.

 

Cilindrische doorsneden zijn de snijpunten van cilinders met vlakken. Voor een rechthoekige cilinder zijn er vier mogelijkheden. Een raakvlak aan de cilinder snijdt de cilinder in één rechte lijn. Evenwijdig aan zichzelf verplaatst, snijdt het vlak de cilinder ofwel niet, ofwel in twee evenwijdige lijnen. Alle andere vlakken snijden de cilinder in een ellips of, wanneer ze loodrecht op de as van de cilinder staan, in een cirkel.

Een elliptische cilinder, of cylindroïde, is een kwadratisch oppervlak, met de volgende vergelijking in cartesische coördinaten:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1. {\displaystyle \left({x}{a}}}right)^{2}+{y}{b}} ^{2}=1.}

Deze vergelijking geldt voor een elliptische cilinder, een veralgemening van de gewone, cirkelvormige cilinder (a = b). Nog algemener is de gegeneraliseerde cilinder: de doorsnede kan een willekeurige kromme zijn.

De cilinder is een ontaarde kwadriek omdat ten minste één van de coördinaten (in dit geval z) niet in de vergelijking voorkomt.

Bij een schuine cilinder zijn het boven- en ondervlak van elkaar verwijderd.

Er zijn nog andere, meer ongebruikelijke soorten cilinders. Dit zijn de denkbeeldige elliptische cilinders:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = - 1 {\displaystyle \left({x}{a}}}right)^{2}+\left({y}{b}}} ^{2}=-1}

de hyperbolische cilinder:

( x a ) 2 - ( y b ) 2 = 1 {\displaystyle \left({x}{a}}}right)^{2}-\left({y}{b}}}right)^{2}=1}

en de parabolische cilinder:

x 2 + 2 a y = 0. {Displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}