Cilinder (meetkunde)

Een cilinder is een van de meest elementaire gekromde meetkundige vormen, waarbij het oppervlak wordt gevormd door de punten op een vaste afstand van een gegeven lijnstuk, de zogenaamde as van de cilinder. De vorm kan worden opgevat als een cirkelvormig prisma. Zowel het oppervlak als de vaste vorm die binnenin ontstaat, kunnen een cilinder worden genoemd. De oppervlakte en het volume van een cilinder zijn al sinds de oudheid bekend.

In de differentiaalmeetkunde wordt een cilinder ruimer gedefinieerd als een regeloppervlak dat wordt omspannen door een familie evenwijdige lijnen van één parameter. Een cilinder waarvan de doorsnede een ellips, parabool of hyperbool is, wordt respectievelijk ellipscilinder, paraboolcilinder of hyperboolcilinder genoemd.

Een rechte cirkelvormige cilinder
Een rechte cirkelvormige cilinder

Algemeen gebruik

In het algemeen wordt onder een cilinder verstaan een eindige doorsnede van een rechte cirkelcilinder, d.w.z. de cilinder met de voortbrengsellijnen loodrecht op de basis, waarvan de uiteinden gesloten zijn tot twee cirkelvormige oppervlakken, zoals in de figuur (rechts). Indien de cilinder een straal r en lengte (hoogte) h heeft, dan wordt het volume gegeven door:

V = πr2h

en de oppervlakte is:

  • de oppervlakte van de top (πr2) +
  • de oppervlakte van de bodem (πr2) +
  • de oppervlakte van de zijde (2πrh).

Dus, zonder de boven- of onderkant (lateraal oppervlak), is het oppervlak:

A = 2πrh.

Met de bovenkant en de onderkant, is de oppervlakte:

A = 2πr2 + 2πrh = 2πr(r + h).

Bij een gegeven volume heeft de cilinder met het kleinste oppervlak h = 2r. Bij een gegeven oppervlakte heeft de cilinder met het grootste volume h = 2r, d.w.z. de cilinder past in een kubus (hoogte = diameter).

Volume

Een rechte cirkelvormige cilinder met hoogte h eenheden en basis met straal r eenheden met de coördinatenassen zo gekozen dat de oorsprong in het midden van één basis ligt en de hoogte langs de positieve x-as gemeten wordt. Een vlakke doorsnede op een afstand van x eenheden van de oorsprong heeft een oppervlakte van A(x) kwadraateenheden waarbij

A ( x ) = π r 2 {\displaystyle A(x)= r^{2}} {\displaystyle A(x)=\pi r^{2}}

of

A ( y ) = π r 2 {\displaystyle A(y)= r^{2}} {\displaystyle A(y)=\pi r^{2}}

Een volume-element, is een rechthoekige cilinder met grondvlak Awi kwadraateenheden en een dikte Δix eenheden. Dus als V kubieke eenheden het volume is van de rechter cirkelcilinder, door Riemann sommen,

V o l u m e v a n c y l i n d e r = lim | | Δ → 0 | ∑ i = 1 n A ( w i ) Δ i x {\displaystyle \mathrm {Volume; van; cilinder} =lim _{||Delta \to 0|}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x} {\displaystyle \mathrm {Volume\;of\;cylinder} =\lim _{||\Delta \to 0||}\sum _{i=1}^{n}A(w_{i})\Delta _{i}x}

= ∫ 0 h A ( y ) 2 d y {{0}^{h}A(y)^{2}\,dy} {\displaystyle =\int _{0}^{h}A(y)^{2}\,dy}

= ∫ 0 h π r 2 d y {\displaystyle = {{0}^{h}\pi r^{2},dy} {\displaystyle =\int _{0}^{h}\pi r^{2}\,dy}

= π r 2 h = pi \,r^{2},h\,} {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Met behulp van cilindrische coördinaten kan het volume worden berekend door integratie over

= ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {\displaystyle = ∫ 0 h ∫ 0 2 π ∫ 0 r s d s d ϕ d z {{0}^{h}} {\displaystyle =\int _{0}^{h}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}s\,\,ds\,d\phi \,dz}

= π r 2 h = pi \,r^{2},h\,} {\displaystyle =\pi \,r^{2}\,h\,}

Cilindrische doorsnede

Cilindrische doorsneden zijn de snijpunten van cilinders met vlakken. Voor een rechte cirkelvormige cilinder zijn er vier mogelijkheden. Een vlak dat raakt aan de cilinder, snijdt de cilinder in één rechte lijn. Als het vlak evenwijdig aan zichzelf wordt bewogen, snijdt het de cilinder ofwel niet, ofwel in twee evenwijdige lijnen. Alle andere vlakken snijden de cilinder in een ellips of, wanneer zij loodrecht op de as van de cilinder staan, in een cirkel.

Andere typen cilinders

Een elliptische cilinder, of cylindroïde, is een kwadratisch oppervlak, met de volgende vergelijking in cartesische coördinaten:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = 1. {Displaystyle \left({\frac {x}{a}}right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}right)^{2}=1.} {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1.}

Deze vergelijking is voor een elliptische cilinder, een veralgemening van de gewone, cirkelvormige cilinder (a = b). Nog algemener is de veralgemeende cilinder: de doorsnede kan elke kromme zijn.

De cilinder is een ontaarde vierhoek omdat ten minste één van de coördinaten (in dit geval z) niet in de vergelijking voorkomt.

Bij een schuine cilinder zijn het boven- en ondervlak van elkaar verschoven.

Er zijn nog andere, meer ongebruikelijke soorten cilinders. Dit zijn de denkbeeldige elliptische cilinders:

( x a ) 2 + ( y b ) 2 = - 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}right)^{2}=-1} {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1}

de hyperbolische cilinder:

( x a ) 2 - ( y b ) 2 = 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}rechts)^{2}-\left({\frac {y}{b}}rechts)^{2}=1} {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1}

en de parabolische cilinder:

x 2 + 2 a y = 0. {Displaystyle x^{2}+2ay=0.\,} {\displaystyle x^{2}+2ay=0.\,}

Een elliptische cilinder
Een elliptische cilinder

In de projectieve meetkunde is een cilinder gewoon een kegel waarvan de top zich op oneindig bevindt, hetgeen visueel overeenkomt met een cilinder in perspectief die een kegel naar de hemel toe lijkt te zijn.
In de projectieve meetkunde is een cilinder gewoon een kegel waarvan de top zich op oneindig bevindt, hetgeen visueel overeenkomt met een cilinder in perspectief die een kegel naar de hemel toe lijkt te zijn.

Projectieve meetkunde

In de projectieve meetkunde is een cilinder gewoon een kegel waarvan de top op oneindig ligt.

Dit is nuttig bij de definitie van ontaarde kegelsneden, waarvoor de cilindrische kegelsneden moeten worden beschouwd.


AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3