Hyperbool (meetkunde)
Een hyperbola is een soort kegelvormige doorsnede. Net als de andere drie soorten kegelsneden - parabolen, ellipsen en cirkels - is het een kromme die wordt gevormd door het snijpunt van een kegel en een vlak. Een hyperbool ontstaat wanneer het vlak beide helften van een dubbele kegel doorsnijdt, waardoor twee curven ontstaan die precies op elkaar lijken, maar in tegengestelde richting openen. Dit gebeurt wanneer de hoek tussen de as van de kegel en het vlak kleiner is dan de hoek tussen een lijn aan de zijkant van de kegel en het vlak.
Hyperbolen zijn op veel plaatsen in de natuur te vinden. Zo kan bijvoorbeeld een object in een open baan rond een ander object - waar het nooit meer terugkomt - zich in de vorm van een hyperbola bewegen. Op een zonnewijzer is het pad dat door de punt van de schaduw in de tijd wordt gevolgd een hyperbool.
Een van de meest bekende hyperbolen is de grafiek van de vergelijking f ( x ) = 1 / x {\playstyle f(x)=1/x}
.
Een hyperbool is het snijpunt tussen beide helften van een dubbele kegel en een vlak.
Definities en vergelijkingen
De twee losgekoppelde curven die samen een hyperbola vormen, worden armen of takken genoemd.
De twee punten waar de takken het dichtst bij elkaar liggen, worden de hoekpunten genoemd. De lijn tussen deze twee punten wordt de dwarsas of hoofdas genoemd. Het middelpunt van de dwarsas is het centrum van de hyperbool.
Op grote afstand van het centrum naderen de takken van de hyperbool twee rechte lijnen. Deze twee lijnen worden de asymptoten genoemd. Naarmate de afstand tot het centrum groter wordt, komt de hyperbool steeds dichter bij de asymptoten, maar kruist ze nooit.
De conjugaatas of kleine as staat loodrecht, of in een rechte hoek ten opzichte van de dwarsas. De eindpunten van de conjugaatas liggen op de hoogte waar een segment dat het hoekpunt snijdt en loodrecht staat op de dwarsas de asymptoten snijdt.
Een hyperbola die een centrum heeft op de oorsprong van het Cartesiaanse coördinatenstelsel, dat het punt (0,0) is, en een dwarsas op de x-as heeft, kan worden geschreven als de vergelijking
x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. {\frac {x^2}}{a^2}}- {y^2}}{b{2}}=1.} 
a is de afstand tussen het centrum en een hoekpunt. De lengte van de dwarsas is gelijk aan 2a. b is de lengte van een loodrecht lijnstuk van een hoekpunt naar een asymptoot. De lengte van de geconjugeerde as is gelijk aan 2b.
De twee takken van het bovenstaande type hyperbola openen naar links en naar rechts. Als de takken zich op en neer openen en de dwarsas op de y-as ligt, dan kan de hyperbola worden geschreven als de vergelijking
y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. {\frac {y^2}}{a^2}}-{x^2}}{b{2}}=1.} 
Grafiek van een hyperbola (rode curven). De asymptoten worden weergegeven als blauwe stippellijnen. Het centrum is gelabeld met C en de twee hoekpunten bevinden zich op -a en a. De brandpunten zijn gelabeld met F1 en F2.
Hyperbolisch traject
Een hyperbolische baan is de baan die gevolgd wordt door een object wanneer zijn snelheid meer is dan de ontsnappingssnelheid van een planeet, satelliet of ster. Dat betekent dat zijn orbitale excentriciteit groter is dan 1. Bijvoorbeeld, meteoren naderen op een hyperbolische baan, en interplanetaire ruimtesondes vertrekken op één.
Vragen en antwoorden
V: Wat is een hyperbool?
A: Een hyperbool is een soort kegelsnede, een kromme gevormd door het snijpunt van een kegel en een vlak. Hij ontstaat wanneer het vlak beide helften van een dubbele kegel snijdt, waardoor twee krommen ontstaan die precies op elkaar lijken, maar in tegengestelde richting opengaan.
V: Hoe ontstaat een hyperbool?
A: Een hyperbool ontstaat wanneer het vlak beide helften van een dubbele kegel snijdt, waardoor twee krommen ontstaan die precies op elkaar lijken maar in tegengestelde richting opengaan. Dit gebeurt wanneer de hoek tussen de as van de kegel en het vlak kleiner is dan de hoek tussen een lijn aan de zijkant van de kegel en het vlak.
V: Waar vinden we voorbeelden van hyperbolen in de natuur?
A: Hyperbolen komen op vele plaatsen in de natuur voor. Bijvoorbeeld, een voorwerp in een open baan om een ander voorwerp - waarbij het nooit meer terugkeert - kan bewegen in de vorm van een hyperbool. Op een zonnewijzer heeft het pad dat het puntje van de schaduw in de loop van de tijd aflegt ook de vorm van een hyperbool.
V: Welke vergelijking beschrijft een bekend voorbeeld van een hyperbool?
A: Een bekend voorbeeld van een vergelijking die een hyperbool beschrijft is f(x)=1/x .
V: Wat zijn enkele andere soorten kegelsneden dan hyperbolen?
A: Andere soorten kegelsneden zijn parabolen, ellipsen en cirkels.
V: Waarin verschillen deze verschillende typen van elkaar?
A: Parabolen zijn U-vormige krommen met één hoekpunt; ellipsen zijn ovale vormen met twee brandpunten; cirkels hebben geen hoekpunten of brandpunten; en hyperbolen tenslotte hebben twee afzonderlijke gebogen lijnen die vanuit hun middelpunt onder verschillende hoeken naar buiten lopen.
