Determinant | vierkante matrix is een scalair die aangeeft hoe die matrix zich gedraagt

De determinant van een vierkante matrix is een scalair (een getal) die aangeeft hoe die matrix zich gedraagt. Hij kan worden berekend uit de getallen in de matrix.

De determinant van de matrix {\displaystyle A} wordt in een formule geschreven als {\displaystyle \det(A)} of {\displaystyle |A|} . Soms schrijft men in plaats van {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)} en {\displaystyle \left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|}schrijft men eenvoudig {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}} en {\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|} .




 

Interpretatie

Er zijn een paar manieren om te begrijpen wat de determinant zegt over een matrix.

Geometrische interpretatie

nEen matrix{\displaystyle n\times n} kan worden gezien als een beschrijving van een lineaire kaart in dimensies. In dat geval geeft de determinant de factor aan waarmee deze matrix een gebied van n -dimensionale ruimte schaalt (vergroot of verkleint).

Bijvoorbeeld, een matrix {\displaystyle 2\times 2} , gezien als een lineaire kaart. {\displaystyle A}, gezien als een lineaire kaart, maakt van een vierkant in de tweedimensionale ruimte een parallellogram. De oppervlakte van dat parallellogram zal {\displaystyle \det(A)} keer zo groot zijn als de oppervlakte van het vierkant.

Op dezelfde manier zal een {\displaystyle 3\times 3} matrix {\displaystyle B} , gezien als een lineaire kaart, van een kubus in de driedimensionale ruimte een parallellepipedum maken. Het volume van dat parallellepipedum is {\displaystyle \det(B)} keer zo groot als het volume van de kubus.

De determinant kan negatief of nul zijn. Een lineaire kaart kan een volume uitrekken en schalen, maar ook spiegelen over een as. Wanneer dit gebeurt, verandert het teken van de determinant van positief naar negatief, of van negatief naar positief. Een negatieve determinant betekent dat het volume werd gespiegeld over een oneven aantal assen.

"Systeem van vergelijkingen" interpretatie

Men kan een matrix beschouwen als een beschrijving van een stelsel lineaire vergelijkingen. Dat stelsel heeft een unieke niet-triviale oplossing precies wanneer de determinant niet 0 is (niet-triviaal betekent dat de oplossing niet alleen uit nullen bestaat).

Als de determinant nul is, dan is er ofwel geen unieke niet-triviale oplossing, ofwel zijn er oneindig veel.



 

Zoom

Voor een matrix van {\displaystyle 2\times 2} {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}is de determinant de oppervlakte van een parallellogram. (De oppervlakte is gelijk aan {\displaystyle ad-bc} .)


 

Singuliere matrices

Een matrix heeft precies een inverse als de determinant niet 0 is. Daarom wordt een matrix met een determinant van nul inverteerbaar genoemd. Is de determinant 0, dan heet de matrix niet-inverteerbaar of singulier.

Geometrisch kan men een singuliere matrix zien als het "afvlakken" van een parallellepipedum tot een parallellogram, of een parallellogram tot een lijn. Dan is het volume of de oppervlakte 0, wat betekent dat er geen lineaire kaart is die de oude vorm terugbrengt.


 

Een determinant berekenen

Er zijn een paar manieren om een determinant te berekenen.

Formules voor kleine matrices

  • Voor matrices van het type{\displaystyle 1\times 1} en matrices van het {\displaystyle 2\times 2} gelden de volgende eenvoudige formules:

{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}

  • Voor matrices{\displaystyle 3\times 3} is de formule:

{\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Men kan de Regel van Sarrus (zie afbeelding) gebruiken om deze formule te onthouden.

Cofactor uitbreiding

Voor grotere matrices is de determinant moeilijker te berekenen. Een manier om dit te doen heet cofactor expansie.

{\displaystyle n\times n}Stel, we hebben een matrix {\displaystyle A} }. Eerst kiezen we een willekeurige rij of kolom van de matrix. Voor elk getal {\displaystyle a_{ij}} in die rij of kolom berekenen we de cofactor {\displaystyle C_{ij}}. Dan is {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}}.

Om zo'n cofactor berekenen, wissen we rij i {displaystyle i}  en kolom j {displaystyle j}  uit de matrix A {displaystyle A}  . {\displaystyle C_{ij}}wissen we rij {\displaystyle i} en kolom {\displaystyle j} uit de matrix {\displaystyle A} . Dit geeft ons een kleinere {\displaystyle (n-1)\times (n-1)} matrix. We noemen deze {\displaystyle M} . De cofactor {\displaystyle C_{ij}} is dan gelijk aan {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Hier volgt een voorbeeld van een cofactoruitbreiding van de linkerkolom van een matrix ({\displaystyle 3\times 3} ):

⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ). + 0 = - 11. {\displaystyle} {\begin{aligned}{bmatrix}{{color {red}1}&3&2{color {red}2}&1&1{color {red}0}&3&4{bmatrix}}&={{Color {red}1}{C_{11}+{{Color {red}2}{C_{21}+{Color {red}0}{C_{31}}&==links({{Color {red}1}{1)^{1+1}}{C_{31}}&= (-1)^{1+1}{C_{31}}&{1}{1}&3}&{4}.4{bmatrix}}) +linker({color {red}2}{cdot (-1)^{2+1}{det {begin{bmatrix}3&2{bmatrix}}&4{bmatrix}})) +linker({color {red}0}{cdot (-1)^{3+1}{det {begin{bmatrix}3&2{bmatrix}})).2{bmatrix}1&1{bmatrix}} rechts)&=({rode}1}1{cijfer 1})+(rode}2}cijfer (-1)^{3+1})+{rode}0}{cijfer 11}.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}}

Zoals hierboven geïllustreerd, kan men de berekening van de determinant vereenvoudigen door een rij of kolom met veel nullen te kiezen; als {\displaystyle a_{ij}} 0 is, kan men de berekening van {\displaystyle C_{ij}} helemaal overslaan.



 

Zoom

De determinantformule{\displaystyle 3\times 3} is een som van producten. Die producten gaan langs diagonalen die "omslaan" naar de bovenkant van de matrix. Deze truc heet de regel van Sarrus.


 

Gerelateerde pagina's

 

Vragen en antwoorden

V: Wat is een determinant?


A: Een determinant is een scalair (een getal) die aangeeft hoe een vierkante matrix zich gedraagt.

V: Hoe kan de determinant van een matrix worden berekend?


A: De determinant van de matrix kan worden berekend uit de getallen in de matrix.

V: Hoe wordt de determinant van een matrix geschreven?


A: De determinant van een matrix wordt in een formule geschreven als det(A) of |A|.

V: Zijn er andere manieren om de determinant van een matrix uit te schrijven?


A: Ja, in plaats van det([a b c d]) en |[a b c d]|, kan men gewoon det [a b c d] en |[a b c d]| schrijven.

V: Wat betekent het als wij "scalair" zeggen?


A: Een scalair is een individueel getal of een individuele grootheid die een grootte maar geen richting heeft.

V: Wat zijn vierkante matrices?


A: Vierkante matrices zijn matrices met een gelijk aantal rijen en kolommen, zoals 2x2 of 3x3 matrices.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3