Parallellepipedum

Eigenschappen

Elk van de drie paren evenwijdige vlakken kan worden gezien als het grondvlak van het prisma. Een parallellepipedum heeft drie groepen van vier evenwijdige zijden; de zijden binnen elke groep zijn even lang.

Parallelepipedia zijn het resultaat van lineaire transformaties van een kubus (voor de niet-degenerate gevallen: de bijectieve lineaire transformaties).

Omdat elk zijvlak puntsymmetrie heeft, is een parallellepipedum een zonoëder. Ook het gehele parallellepipedum heeft puntsymmetrie _Ci (zie ook triclinisch). Elk zijvlak is, van buitenaf gezien, het spiegelbeeld van het tegenoverliggende zijvlak. De zijvlakken zijn in het algemeen chiraal, maar de parallellepipedum is dat niet.

Een ruimtevullende vlakvulling is mogelijk met congruente kopieën van elk parallellepipedum.

Volume

Het volume van een parallellepipedum is het product van de oppervlakte van het grondvlak A en de hoogte h. Het grondvlak is een van de zes zijvlakken van het parallellepipedum. De hoogte is de loodrechte afstand tussen het grondvlak en het tegenoverliggende zijvlak.

Een alternatieve methode definieert de vectoren a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) en c = (c1, c2, c3) om drie ribben voor te stellen die bij één hoekpunt samenkomen. Het volume van het parallellepipedum is dan gelijk aan de absolute waarde van het scalair tripelproduct a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\left|mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=left|mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Dit is waar, want als we b en c kiezen om de randen van de basis voor te stellen, dan is de oppervlakte van de basis, per definitie van het kruisproduct (zie meetkundige betekenis van kruisproduct),

A = | b | | c | sin θ = | b × c | , {Displaystyle A=Links|mathbf {b} rechts|links|mathbf {c} sin \theta = links|mathbf {b} keer \mathbf {c} rechts}

waarin θ de hoek tussen b en c is, en de hoogte

h = | a | cos α , {Displaystyle h==left} \mathbf {a} \right|cos \alpha,}

waarbij α de binnenhoek tussen a en h is.

Uit de figuur kunnen we afleiden dat de grootte van α beperkt is tot 0° ≤ α < 90°. Integendeel, de vector b × c kan met a een binnenhoek β vormen die groter is dan 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Daar b × c evenwijdig is met h, is de waarde van β ofwel β = α ofwel β = 180° - α. Dus

cos α = ± cos β = cos β | cos β | , {Displaystyle \cos \alpha = \pm \cos \beta =left|\cos \beta \right|,}

en

h = a cos β . h=links} \mathbf {a} \right|left|cos \beta right|. }

Wij concluderen dat

V = A h = | a | b × c | cos β | , {Displaystyle V=Ah= links|mathbf {a} \right|left|mathbf {b} keer \mathbf {c} rechts = links =cos bèta = rechts =,}

dat volgens de definitie van het scalair (of punt) product gelijk is aan de absolute waarde van a - (b × c), Q.E.D.

Deze laatste uitdrukking is ook equivalent met de absolute waarde van de determinant van een driedimensionale matrix die is opgebouwd uit a, b en c als rijen (of kolommen):

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Deze wordt gevonden met behulp van de Regel van Cramer over drie gereduceerde tweedimensionale matrices uit het origineel.

Als a, b en c de randlengtes van het parallellepipedum zijn, en α, β en γ de binnenhoeken tussen de randen, dan is het volume

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . V=abc {1+2 cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )- \cos ^{2}(\alpha )- \cos ^{2}(\beta )- \cos ^{2}(\gamma )\,}}. }

Overeenkomstige tetraëder

Het volume van elke tetraëder die drie convergerende ribben van een parallellepipedum deelt, is gelijk aan een zesde van het volume van dat parallellepipedum (zie bewijs).

Vectoren die een parallellepipedum definiëren.

Speciale gevallen

Voor parallellepipeda met een symmetrievlak zijn er twee gevallen:

• het heeft vier rechthoekige vlakken
• het heeft twee ruitvormige zijvlakken, terwijl van de andere zijvlakken twee aangrenzende gelijk zijn en de andere twee ook (de twee paren zijn elkaars spiegelbeeld).

Zie ook monoklien.

Een rechthoekige kubus, ook rechthoekig parallellepipedum of soms gewoon kubus genoemd, is een parallellepipedum waarvan alle zijvlakken rechthoekig zijn; een kubus is een kubus met vierkante zijvlakken.

Een rhomboëder is een parallellepipedum met alle ruitvormige zijvlakken; een trigonale trapezoëder is een rhomboëder met congruente ruitvormige zijvlakken.

Rechthoekig parallellepipedum

Perfect parallellepipedum

Een perfect parallellepipedum is een parallellepipedum met ribben, diagonalen en diagonalen in de ruimte met een gehele lengte. In 2009 werd aangetoond dat er tientallen perfecte parallellepipeda bestaan, waarmee een open vraag van Richard Guy werd beantwoord. Eén voorbeeld heeft ribben 271, 106 en 103, kleine diagonalen 101, 266 en 255, grote diagonalen 183, 312 en 323, en ruimte-diagonalen 374, 300, 278 en 272.

Er zijn enkele volmaakte parallellepipoden bekend met twee rechthoekige zijvlakken. Maar het is niet bekend of er ook zijn met alle zijvlakken rechthoekig; zo'n geval zou een volmaakte kuboïde genoemd worden.

Parallelotoop

Coxeter noemde de veralgemening van een parallellepipedum in hogere dimensies een parallellepipedum.

Specifiek in de n-dimensionale ruimte heet het n-dimensionale parallelloop, of kortweg n-parallelloop. Zo is een parallellogram een 2-parallelotoop en een parallellepipedum een 3-parallelotoop.

Meer algemeen heeft een parallellotoop, of voronoi-parallellotoop, evenwijdige en congruent tegenover elkaar liggende facetten. Een 2-parallelotoop is dus een parallellogon, dat ook bepaalde zeshoeken kan omvatten, en een 3-parallelotoop is een paralleloëder, die 5 soorten veelvlakken omvat.

De diagonalen van een n-parallelotoop snijden elkaar in één punt en worden door dit punt doorsneden. Inversie in dit punt laat de n-parallelotoop onveranderd. Zie ook dekpunten van isometriegroepen in de euclidische ruimte.

De randen die uit één hoekpunt van een k-parallelotoop stralen, vormen een k-vlak ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\dots ,v_{n})} van de vectorruimte, en de parallelotoop kan uit deze vectoren worden teruggevonden, door lineaire combinaties van de vectoren te nemen, met gewichten tussen 0 en 1.

Het n-volume van een n-parallelotoop ingebed in R m {R} ^{m}} waar m ≥ n {R} ^{m}} kan worden berekend met behulp van de Gram-determinant. Als alternatief is het volume de norm van het uitwendig product van de vectoren:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=. }

Indien m = n, is dit de absolute waarde van de determinant van de n vectoren.

Een andere formule om het volume te berekenen van een n-parallelotoop P in R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , waarvan de n + 1 hoekpunten zijn V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} is

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {Vol}(P)=|{\rm {det}} ([V_{0}]1]^{\rm {T}},[V_{1}]1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}]1]^{\rm {T}})|,}

waarbij [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} de rijvector is die gevormd wordt door de aaneenschakeling van V i {\displaystyle V_{i}} en 1. De determinant blijft immers onveranderd als [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} van [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} wordt afgetrokken (i > 0), en door [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} in de laatste positie te plaatsen verandert alleen het teken. (i > 0), en door [ V 0 1 ] {{0}\ 1]} op de laatste plaats te zetten verandert alleen het teken.

Evenzo heeft het volume van elk n-vlak dat n convergerende ribben van een parallelloop deelt, een volume gelijk aan 1/n! van het volume van die parallelloop.

Lexicografie

Het woord komt voor als parallelipipedon in Sir Henry Billingsley's vertaling van Euclides' Elementen, gedateerd 1570. In de uitgave van 1644 van zijn Cursus mathematicus gebruikte Pierre Hérigone de spelling parallelepipedum. De Oxford English Dictionary vermeldt dat de huidige parallelepipedum voor het eerst voorkomt in Walter Charleton's Chorea gigantum (1663).

In Charles Hutton's Dictionary (1795) komen parallelopiped en parallelopipedon voor, waaruit de invloed van de combinatievorm parallelo- blijkt, alsof het tweede element pipedon is in plaats van epipedon. Noah Webster (1806) neemt de spelling parallelopiped op. De editie 1989 van de Oxford English Dictionary beschrijft parallelopiped (en parallelipiped) expliciet als incorrecte vormen, maar deze worden zonder commentaar vermeld in de editie 2004, en alleen uitspraken met de klemtoon op de vijfde lettergreep pi (/paɪ/) worden gegeven.

Een verandering ten opzichte van de traditionele uitspraak heeft de verschillende verdeling verborgen die door de Griekse wortels wordt gesuggereerd, waarbij epi- ("op") en pedon ("grond") worden gecombineerd om epiped te geven, een plat "vlak". De vlakken van een parallelepipedum zijn dus vlak, met tegenover elkaar liggende vlakken die evenwijdig zijn.