Hilbert's paradox van het Grand Hotel
Hilberts paradox van het Grand Hotel is een wiskundige paradox, genoemd naar de Duitse wiskundige David Hilbert. Hilbert gebruikte het als voorbeeld om aan te tonen dat oneindigheid niet op dezelfde manier werkt als gewone getallen.
De paradox
Normale hotels hebben een vast aantal kamers. Dit aantal is eindig. Zodra elke kamer aan een gast is toegewezen, kan elke nieuwe gast die een kamer wil en er nog geen heeft, niet worden bediend - met andere woorden, het hotel is volgeboekt.
Stel nu dat er een hotel is met oneindig veel kamers. Voor het gemak hebben de kamers nummers: de eerste kamer heeft nummer 1, de tweede nummer 2, enzovoort. Als alle kamers gevuld zijn, kan het lijken alsof er geen gasten meer kunnen worden opgenomen, zoals in een hotel met een eindig aantal kamers. Dit is echter onjuist. Een kamer kan worden vrijgemaakt voor een andere gast. Dat kan door de gast in kamer 1 naar kamer 2 te verplaatsen, de gast in kamer 2 naar kamer 3, enzovoort. In het algemene geval wordt de gast in kamer n verplaatst naar kamer n+1. Nadat alle gasten zijn verhuisd, is kamer 1 leeg, en de nieuwe gast heeft nu een kamer om te bezetten. Dit laat zien hoe we een kamer kunnen vinden voor een nieuwe gast, zelfs als het hotel al vol is, iets wat in geen enkel hotel met een eindig aantal kamers zou kunnen gebeuren.
In het geval van oneindig veel nieuwe gasten
Iets anders dat met dit denkbeeldige hotel kan worden gedaan is het aantal mensen binnen te verdubbelen, ook weer als alle kamers al vol zijn. Dit wordt gedaan door elke gast te vragen zijn kamernummer met twee te vermenigvuldigen en naar die kamer te verhuizen (als zijn vorige kamernummer n was, gaat hij nu naar kamernummer 2n). Zo wordt de gast in kamer 1 naar kamer 2 gestuurd, de gast in kamer 2 naar kamer 4, de gast in kamer 3 naar kamer 6, de gast in kamer 4 naar kamer 8, enzovoort. Dan blijkt dat alle kamers met oneven nummers leeg zijn. Dan kunnen we een oneindig aantal gasten in deze lege kamers plaatsen. Nu is het aantal gasten in het hotel verdubbeld zonder dat het hotel groter is geworden.
Als oneindige groepen oneindige gasten komen
De gast in kamer 11 zou naar kamer 101 gaan. De tweede persoon van groep 5 (adres 5-2) zou naar kamer 25 gaan.
Dit is niet echt een paradox, het is alleen contra-intuïtief. In een normaal hotel, met een eindig aantal kamers, is het aantal kamers met oneven nummers kleiner dan het totale aantal kamers. In Hilbert's Hotel lijkt dit niet het geval te zijn.
In het geval van oneindige voertuigen van oneindige groepen van oneindige gasten
Gast 1 van groep 2 van voertuig 1 (1-2-1) gaat naar kamer 121.
Verdere lagen van oneindigheid
Oneindige vliegdekschepen van dezelfde oneindige voertuigen...
Adres 4-7-7-4 gaat naar kamer 4774.
Oneindige ruimteschepen van dezelfde oneindige vliegdekschepen.
Adres 0-1 (hotelbewoner) blijft omdat 1-0-0-0-1 naar kamer 10.001 verhuist.
en zo verder.
Oneindige lagen van nesting
Elke pod biedt plaats aan 10 personen.
Elke megapod heeft 10 pods. (100 personen)
Elke supermegapod bevat 10 megapods. (1.000 mensen)
Elke superdupermegapod bevat 10 supermegapods.
Elke ultrasuperdupermegapod bevat 10 superdupermegapods.
Elke ultrasuperduperubermegapod bevat 10 ultrasuperdupermegapods. (1.000.000 mensen)
En zo verder. Dit veronderstelt dat er nooit een oneindige laag is. (Het hoofdschip)
Analyse
De paradox van Hilbert is een veridische paradox: hij leidt tot een contra-intuïtief resultaat dat bewijsbaar waar is. De verklaringen "er is een gast in elke kamer" en "er kunnen geen gasten meer worden ondergebracht" zijn niet gelijkwaardig wanneer er oneindig veel kamers zijn. Een analoge situatie doet zich voor in het diagonale bewijs van Cantor.
Op het eerste gezicht lijkt deze gang van zaken contra-intuïtief. De eigenschappen van "oneindige verzamelingen van dingen" zijn heel anders dan die van "eindige verzamelingen van dingen". De paradox van Hilberts Grand Hotel kan worden begrepen met behulp van Cantors theorie van transfiniete getallen. In een gewoon (eindig) hotel met meer dan één kamer is het aantal kamers met oneven nummers uiteraard kleiner dan het totale aantal kamers. In Hilberts toepasselijke naam Grand Hotel is het aantal oneven kamers echter niet kleiner dan het totale "aantal" kamers. In wiskundige termen is de kardinaliteit van de deelverzameling die de oneven kamers bevat dezelfde als de kardinaliteit van de verzameling van alle kamers. Immers, oneindige verzamelingen worden gekarakteriseerd als verzamelingen die goede deelverzamelingen hebben met dezelfde kardinaliteit. Voor telbare verzamelingen (verzamelingen met dezelfde kardinaliteit als de natuurlijke getallen) is deze kardinaliteit ℵ 0 {aleph _{0}} 
.
Anders gezegd, voor elke telbaar oneindige verzameling bestaat er een bijectieve functie die de telbaar oneindige verzameling in de verzameling natuurlijke getallen overvoert, zelfs als de telbaar oneindige verzameling de natuurlijke getallen bevat. Bijvoorbeeld, de verzameling rationale getallen - die getallen die kunnen worden geschreven als een quotiënt van gehele getallen - bevat de natuurlijke getallen als deelverzameling, maar is niet groter dan de verzameling natuurlijke getallen omdat de rationale getallen telbaar zijn: er is een bijectie van de natuurlijke getallen naar de rationale getallen.
Vragen en antwoorden
V: Wat is de paradox van Hilbert over het Grand Hotel?
A: Hilbert's paradox van het Grand Hotel is een wiskundige paradox genoemd naar de Duitse wiskundige David Hilbert.
V: Wat was Hilberts doel om de Grand Hotel paradox te gebruiken?
A: David Hilbert gebruikte Hilbert's paradox van het Grand Hotel als voorbeeld om aan te tonen dat oneindigheid niet op dezelfde manier werkt als gewone getallen.
V: Wie is David Hilbert?
A: David Hilbert was een Duitse wiskundige.
V: Gedraagt oneindigheid zich zoals gewone getallen?
A: Oneindigheid gedraagt zich niet op dezelfde manier als gewone getallen.
V: Wat is de paradox van Hilbert's Grand Hotel?
A: De paradox van Hilbert's paradox van het Grand Hotel is dat een hotel met een oneindig aantal kamers nog steeds meer gasten kan herbergen, zelfs als alle kamers bezet zijn.
Vraag: Wat is de betekenis van Hilberts paradox van het Grand Hotel?
A: De betekenis van Hilberts paradox van het Grand Hotel is dat het de verschillen tussen eindige en oneindige verzamelingen benadrukt, en de eigenaardige manieren waarop oneindigheid zich gedraagt.
Vraag: Wat is de mening van de wiskundige wereld over Hilberts Grand Hotel paradox?
A: Hilberts paradox van het Grand Hotel is algemeen bekend en gerespecteerd in de wiskundige wereld als een belangrijk voorbeeld van de paradoxale aard van oneindigheid.
