Hyperbolische meetkunde: definitie, eigenschappen en voorbeelden

Het parallellenpostulaat in de Euclidische meetkunde zegt dat er in de tweedimensionale ruimte voor elke gegeven lijn l en een punt P dat niet op l ligt, precies één lijn door P loopt die l niet snijdt. Binnen de Euclidische meetkunde zijn modellen geconstrueerd die voldoen aan de axioma's van de hyperbolische meetkunde. Deze modellen bewijzen dat het parallellenpostulaat onafhankelijk is van de andere postulaten van Euclides.

Omdat er geen hyperbolisch analogon is van Euclidische parallelle lijnen, varieert het hyperbolische gebruik van evenwijdig en aanverwante termen tussen de schrijvers. In dit artikel worden de twee beperkende lijnen asymptotisch genoemd en lijnen die een gemeenschappelijke loodlijn hebben ultraparallel; het eenvoudige woord parallel kan op beide van toepassing zijn.

Een interessante eigenschap van de hyperbolische meetkunde volgt uit het voorkomen van meer dan één parallelle lijn door een punt P: er zijn twee klassen van niet-snijdende lijnen. Zij B het punt op l zodanig dat de lijn PB loodrecht staat op l. Beschouw de lijn x door P zodanig dat x l niet snijdt, en de hoek θ tussen PB en x tegen de klok in van PB zo klein mogelijk is; d.w.z. elke kleinere hoek zal de lijn dwingen l te snijden. Dit wordt in de hyperbolische meetkunde een asymptotische lijn genoemd. Symmetrisch zal de lijn y die dezelfde hoek θ vormt tussen PB en zichzelf, maar met de klok mee van PB, ook asymptotisch zijn. x en y zijn de enige twee lijnen door P die asymptotisch zijn aan l. Alle andere lijnen door P die l niet snijden, met hoeken groter dan θ met PB, heten ultraparallel (of disjointly parallel) aan l. Merk op dat aangezien er oneindig veel hoeken tussen θ en 90 graden mogelijk zijn, en elke hoek twee lijnen door P bepaalt die disjointly evenwijdig zijn aan l, er oneindig veel ultraparallelle lijnen bestaan.

Zo hebben we deze gewijzigde vorm van het parallellenpostulaat: In hyperbolische meetkunde zijn er, gegeven een willekeurige lijn l en een punt P dat niet op l ligt, precies twee lijnen door P die asymptotisch zijn aan l, en oneindig veel lijnen door P ultraparallel aan l.

De verschillen tussen deze soorten lijnen kunnen ook op de volgende manier worden bekeken: de afstand tussen asymptotische lijnen loopt in de ene richting naar nul en neemt in de andere richting onbeperkt toe; de afstand tussen ultraparallelle lijnen neemt in beide richtingen toe. De ultraparallelle stelling stelt dat er in het hyperbolische vlak een unieke lijn is die loodrecht staat op elk van een gegeven paar ultraparallelle lijnen.

In de Euclidische meetkunde is de parallelliteitshoek een constante; dat wil zeggen dat elke afstand ‖ B P ‖ {\lVert BP\Vert } tussen parallelle lijnen een parallelliteitshoek oplevert van 90°. In de hyperbolische meetkunde varieert de parallelliteitshoek met de functie Π ( p ) . Deze functie, beschreven door Nikolai Ivanovitsj Lobachevsky, levert een unieke parallelliteitshoek op voor elke afstand p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p= ‖ BP ‖.} . Naarmate de afstand korter wordt, benadert Π ( p ) {{displaystyle \Pi (p)} 90°, terwijl met toenemende afstand Π ( p ) {{displaystyle \Pi (p)} 0° benadert. Naarmate de afstanden kleiner worden, lijkt het hyperbolische vlak dus steeds meer op de Euclidische meetkunde. Inderdaad, op kleine schalen vergeleken met 1 - K {frac {1}{sqrt {-K}}}} waarbij K de (constante) Gaussische kromming van het vlak is, kan een waarnemer moeilijk bepalen of hij zich in het Euclidische of het hyperbolische vlak bevindt.

Eeuwenlang probeerden meetkundigen het parallellenpostulaat te bewijzen. Zij faalden, maar door hun inspanningen ontstond de hyperbolische meetkunde. De stellingen van Alhacen en Khayyam over vierhoeken waren de eerste stellingen over hyperbolische meetkunde. Hun werken over hyperbolische meetkunde hadden invloed op de ontwikkeling ervan bij latere Europese meetkundigen, waaronder Witelo, Alfonso en John Wallis.

In de negentiende eeuw werd de hyperbolische meetkunde onderzocht door János Bolyai en Nikolai Ivanovich Lobachevsky, naar wie zij soms wordt genoemd. Lobachevsky publiceerde in 1830, terwijl Bolyai het onafhankelijk ontdekte en publiceerde in 1832. Karl Friedrich Gauss bestudeerde ook hyperbolische meetkunde en beschreef in een brief van 1824 aan Taurinus dat hij deze had geconstrueerd, maar publiceerde zijn werk niet. In 1868 leverde Eugenio Beltrami er modellen van, en gebruikte deze om te bewijzen dat hyperbolische meetkunde consistent was als Euclidische meetkunde.

De term "hyperbolische meetkunde" werd geïntroduceerd door Felix Klein in 1871. Voor meer geschiedenis, zie artikel over niet-Euclidische meetkunde.

Er zijn drie modellen die gewoonlijk worden gebruikt voor hyperbolische meetkunde: het Klein-model, het Poincaré-schijfmodel en het Lorentz-model, of hyperboloïdemodel. Deze modellen definiëren een echte hyperbolische ruimte die voldoet aan de axioma's van een hyperbolische meetkunde. Ondanks de naamgeving zijn de twee schijfmodellen en het halfvlakmodel geïntroduceerd als modellen van de hyperbolische ruimte door Beltrami, niet door Poincaré of Klein.

1. Het Klein-model, ook bekend als het projectieve schijfmodel en Beltrami-Klein-model, gebruikt het binnenste van een cirkel voor het hyperbolische vlak, en koorden van de cirkel als lijnen.
2. Het Poincaré halfvlakmodel beschouwt de helft van het Euclidische vlak, zoals bepaald door een Euclidische lijn B, als het hyperbolische vlak (B zelf blijft buiten beschouwing).
• Hyperbolische lijnen zijn dan ofwel halve cirkels loodrecht op B ofwel stralen loodrecht op B.
• Beide Poincaré-modellen behouden hyperbolische hoeken, en zijn dus conformistisch. Alle isometrieën binnen deze modellen zijn dus Möbius-transformaties.
• Het halfvlakmodel is identiek (aan de limiet) aan het Poincaré-schijfmodel aan de rand van de schijf
• Dit model is rechtstreeks van toepassing op de speciale relativiteit, aangezien de Minkowski 3-ruimte een model is voor de ruimtetijd, waarbij één ruimtelijke dimensie wordt weggelaten. Men kan de hyperboloïde opvatten als de gebeurtenissen die verschillende bewegende waarnemers, die vanuit één punt in een ruimtelijk vlak naar buiten stralen, in een vaste eigen tijd zullen bereiken. De hyperbolische afstand tussen twee punten op de hyperboloïde kan dan worden geïdentificeerd met de relatieve snelheid tussen de twee corresponderende waarnemers.

M. C. Eschers beroemde prenten Circle Limit III Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine en Circle Limit IV Archived 2009-03-18 at the Wayback Machine illustreren het conforme schijfmodel vrij goed. In beide kan men de geodeten zien. (In III zijn de witte lijnen geen geodeten, maar hypercycli, die erlangs lopen). Ook is duidelijk de negatieve kromming van het hyperbolische vlak te zien, door het effect ervan op de som van de hoeken in driehoeken en vierkanten.

In het Euclidische vlak zouden hun hoeken samen 450° bedragen; dat is een cirkel en een kwart. Hieruit blijkt dat de som van de hoeken van een driehoek in het hyperbolische vlak kleiner moet zijn dan 180°. Een andere zichtbare eigenschap is exponentiële groei. In Circle Limit IV, bijvoorbeeld, kan men zien dat het aantal engelen en demonen binnen een afstand van n van het middelpunt exponentieel toeneemt. De demonen hebben een gelijke hyperbolische oppervlakte, dus de oppervlakte van een bal met straal n moet exponentieel toenemen in n.

Er zijn verschillende manieren om een hyperbolisch vlak (of een benadering daarvan) fysisch te realiseren. Een bijzonder bekend papieren model gebaseerd op de pseudosfeer is te danken aan William Thurston. De kunst van het haken is gebruikt om hyperbolische vlakken te demonstreren. De eerste werd gemaakt door Daina Taimina. In 2000 demonstreerde Keith Henderson een snel te maken papieren model dat de "hyperbolische voetbal" werd genoemd.

• Coxeter, H. S. M. (1942) Niet-Euclidische meetkunde, University of Toronto Press, Toronto.
• Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, vertaler en redacteur: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
• Milnor, John W. (1982) Hyperbolische meetkunde: De eerste 150 jaar, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9-24.
• Reynolds, William F. (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442-455.
• Stillwell, John. (1996) Sources in Hyperbolic Geometry, deel 10 in AMS/LMS series History of Mathematics.
• Samuels, David. (maart 2006) Knit Theory Discover Magazine, volume 27, nummer 3.
• James W. Anderson, Hyperbolische meetkunde, Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9