Euclidische meetkunde | een systeem in de wiskunde
Euclidische meetkunde is een systeem in de wiskunde. Men denkt dat Euclides de eerste was die het beschreef; daarom draagt het zijn naam. Hij beschreef het voor het eerst in zijn leerboek Elementen. Het boek was de eerste systematische bespreking van de meetkunde zoals die toen bekend was. In het boek neemt Euclides eerst enkele axioma's aan. Deze vormen de basis voor later werk. Ze zijn intuïtief duidelijk. Uitgaande van die axioma's kunnen andere stellingen worden bewezen.
In de 19e eeuw werden andere vormen van meetkunde gevonden. Dit is de niet-Euclidische meetkunde. Carl Friedrich Gauss, János Bolyai en Nikolai Ivanovich Lobachevsky waren enkele mensen die dergelijke meetkunde ontwikkelden. Deze gebruiken vaak niet het parallellenpostulaat, maar de andere vier axioma's.
De axioma's
Euclides doet de volgende veronderstellingen. Dit zijn axioma's, die niet bewezen hoeven te worden.
- Elke twee punten kunnen worden verbonden door een rechte lijn
- Elk recht lijnstuk kan worden verlengd tot in het oneindige, zodat het een rechte lijn wordt.
- Met een recht lijnstuk is het mogelijk een cirkel te tekenen, zodat één eindpunt van het lijnstuk het middelpunt van de cirkel is, en het andere eindpunt op de cirkel ligt. Het lijnstuk wordt de straal van de cirkel.
- Alle rechte hoeken zijn congruent
- Parallelpostulaat. Als twee lijnen een derde op zodanige wijze snijden dat de som van de binnenhoeken aan één zijde kleiner is dan twee rechte hoeken, dan moeten de twee lijnen elkaar onvermijdelijk aan die zijde snijden als zij ver genoeg worden doorgetrokken.
Status
Euclidische meetkunde is een eerste-orde theorie. Daarmee kunnen uitspraken als Voor alle driehoeken... gedaan en bewezen worden. Uitspraken als Voor alle sets van driehoeken... vallen buiten het bereik van de theorie.
Vragen en antwoorden
V: Wat is Euclidische meetkunde?
A: Euclidische meetkunde is een systeem in de wiskunde dat voor het eerst werd beschreven door Euclides in zijn leerboek Elementen. Het bestaat uit enkele axioma's die de basis vormen voor later werk, en uit deze axioma's kunnen andere stellingen worden bewezen.
V: Wie heeft de Elementen geschreven?
A: Euclides schreef de Elementen, de eerste systematische bespreking van de meetkunde zoals die toen bekend was.
V: Wat zijn enkele voorbeelden van niet-Euclidische meetkunde?
A: Niet-Euclidische meetkunde werd ontwikkeld door Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai en Nikolai Ivanovich Lobachevsky in de 19e eeuw. Deze maken vaak geen gebruik van het parallellenpostulaat, maar baseren zich op de andere vier axioma's.
V: Wat bespreekt Elementen?
A: Elementen bespreekt de meetkunde zoals die toen bekend was en geeft er een systematische bespreking van.
V: Hoeveel axioma's heeft de Euclidische meetkunde?
A: Euclidische meetkunde heeft enkele axioma's die de basis vormen voor latere werkzaamheden.
V: Wie heeft de niet-Euclidische meetkunde ontwikkeld?
A: Niet-Euclidische meetkunde werd ontwikkeld door Carl Friedrich Gauss, Jבnos Bolyai en Nikolai Ivanovich Lobachevsky in de 19e eeuw.
V: Gebruikt de niet-Euclidische meetkunde alle vijf axioma's of slechts vier?
A: Niet-Euclidische meetkunde gebruikt vaak niet het parallellenpostulaat, maar slechts vier van haar vijf axioma's.
