De wiskundige grondslagen van de bijzondere relativiteit zijn de Lorentz-transformaties, die mathematisch de opvattingen over ruimte en tijd beschrijven voor twee waarnemers die ten opzichte van elkaar bewegen maar geen versnelling ervaren.
Om de transformaties te definiëren gebruiken we een Cartesiaans coördinatensysteem om de tijd en ruimte van "gebeurtenissen" wiskundig te beschrijven.
Elke waarnemer kan een gebeurtenis beschrijven als de positie van iets in de ruimte op een bepaalde tijd, met behulp van coördinaten (x,y,z,t).
De locatie van de gebeurtenis is gedefinieerd in de eerste drie coördinaten (x,y,z) ten opzichte van een willekeurig middelpunt (0,0,0) zodat (3,3,3) een diagonaal is die 3 eenheden van afstand (zoals meters of mijlen) in elke richting uitgaat.
De tijd van de gebeurtenis wordt beschreven met de vierde coördinaat t ten opzichte van een willekeurig (0) punt in de tijd in een bepaalde tijdseenheid (zoals seconden of uren of jaren).
Laat er een waarnemer K zijn die beschrijft wanneer gebeurtenissen zich voordoen met een tijdcoördinaat t, en die beschrijft waar gebeurtenissen zich voordoen met ruimtelijke coördinaten x, y, en z. Dit is een wiskundige definitie van de eerste waarnemer wiens "gezichtspunt" onze eerste referentie zal zijn.
Laten we aangeven dat de tijd van een gebeurtenis is gegeven: tegen de tijd dat deze wordt waargenomen t(geobserveerd) (zeg vandaag, om 12 uur) minus de tijd die nodig was voor de waarneming om de waarnemer te bereiken.
Dit kan worden berekend als de afstand van de waarnemer tot de gebeurtenis d(geobserveerd) (zeg dat de gebeurtenis op een ster staat die 1 lichtjaar verwijderd is, dus het duurt 1 jaar om de waarnemer te bereiken) gedeeld door c, de snelheid van het licht (enkele miljoenen mijlen per uur), die we definiëren als zijnde hetzelfde voor alle waarnemers.
Dit is correct omdat afstand, gedeeld door snelheid, de tijd geeft die nodig is om die afstand met die snelheid te gaan (bijvoorbeeld 30 mijl gedeeld door 10 mijl per uur: geef ons 3 uur, want als je 3 uur lang met 10 mijl per uur gaat, bereik je 30 mijl). Dat hebben we dus gedaan:
t = d / c {\playstyle t=d/c} 
Dit is een wiskundige definitie van wat elke "tijd" betekent voor elke waarnemer.
Nu met deze definities op zijn plaats, laat er een andere waarnemer K' zijn die
- die langs de x-as van K beweegt met een snelheid van v,
- heeft een ruimtelijk coördinatenstelsel van x' , y' , en z' ,
waarbij de x-as samenvalt met de x-as, en met de y- en z-as - "altijd evenwijdig" aan de y- en z-as.
Dit betekent dat wanneer K' een plaats geeft als (3,1,2), de x (die in dit voorbeeld 3 is) dezelfde plaats is waar K, de eerste waarnemer het over zou hebben, maar de 1 op de y-as of de 2 op de z-as zijn slechts parallel aan een of andere plaats op het coördinatenstelsel van de K' waarnemer, en
- waarbij K en K' samenvallen bij t = t' = 0
Dit betekent dat de coördinaat (0,0,0,0) voor beide waarnemers dezelfde gebeurtenis is.
Met andere woorden, beide waarnemers hebben (ten minste) één tijdstip en locatie waar ze het over eens zijn, namelijk locatie en tijd nul.
De Lorentz Transformations zijn dan
t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\playstyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^2}/c^{2}}}}} 
x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} 
y ′ = y ′displaystyle y′ =y′. 
en
z ′ = z \\playstyle z′ =z′
.
Definieer een gebeurtenis om ruimtetijdcoördinaten (t,x,y,z) in het systeem S en (t′,x′,y′,z′) in een referentiekader te hebben dat met een snelheid v ten opzichte van dat kader, S′, beweegt. De Lorentz-transformatie geeft aan dat deze coördinaten als volgt samenhangen: is de Lorentz-factor en c is de lichtsnelheid in vacuüm, en de snelheid v van S′ is evenwijdig aan de x-as. Voor de eenvoud worden de y- en z-coördinaten niet beïnvloed; alleen de x- en t-coördinaten worden getransformeerd. Deze Lorentz-transformaties vormen een groep van lineaire mappings met één parameter, die snelheid wordt genoemd.
Het oplossen van de bovenstaande vier transformatievergelijkingen voor de onbewerkte coördinaten levert de inverse Lorentz-transformatie op:
t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}} 
Het afdwingen van deze omgekeerde Lorentz-transformatie om samen te vallen met de Lorentz-transformatie van het geprimede naar het ongeprimede systeem, toont het ongeprimede frame als bewegend met de snelheid v′ = -v, zoals gemeten in het geprimede frame.
Er is niets bijzonders aan de x-as. De transformatie kan van toepassing zijn op de y- of z-as, of zelfs in elke richting, wat kan gebeuren door richtingen parallel aan de beweging (die vervormd zijn door de γ-factor) en loodrecht; zie het artikel Lorentz-transformatie voor details.
Een hoeveelheid invariant onder Lorentz-transformaties staat bekend als een Lorentz-scalaar.
Het schrijven van de Lorentz-transformatie en de inverse ervan in termen van coördinaatverschillen, waarbij de ene gebeurtenis coördinaten (x1, t1) en (x′1, t′1) heeft, een andere gebeurtenis coördinaten (x2, t2) en (x′2, t′2) heeft, en de verschillen zijn gedefinieerd als
Eq. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\\Delta x'=x'_-x'_1}, \Delta t'=t'_2}-t'_1} . } 
Eq. 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\\Delta x=x_{2}-x_1}, \Delta t=t_{2}-t_1} . } 
we krijgen
Eq. 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\\Delta x'=gamma \ (\Delta x-v\, \Delta t)\, \} 
Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . . } 
Eq. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\\\Delta x=gamma \ (\Delta x'+v\, \Delta t')} 
Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . . } 
Als we verschillen nemen in plaats van verschillen, krijgen we
Eq. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\ displaystyle dx'=gamma \ (dx-v\, dt)\, \ ′d
t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . . } 
Eq. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\playstyle dx=gamma \ (dx'+v\,dt')\, \ }
d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . . } 
