Speciale relativiteitstheorie

Basisprincipes van bijzondere relativiteit

Stel dat je naar iets toe beweegt dat naar je toe beweegt. Als je de snelheid ervan meet, lijkt het sneller te bewegen dan wanneer je niet beweegt. Veronderstel nu dat u zich verwijdert van iets dat naar u toe beweegt. Als u zijn snelheid opnieuw meet, zal het langzamer lijken te bewegen. Dit is het idee van "relatieve snelheid" - de snelheid van het object ten opzichte van jou.

Voor Albert Einstein probeerden wetenschappers de "relatieve snelheid" van het licht te meten. Ze deden dit door de snelheid te meten van het sterlicht dat de aarde bereikt. Ze verwachtten dat als de Aarde naar een ster toe bewoog, het licht van die ster sneller zou moeten lijken dan als de Aarde van die ster af zou bewegen. Ze merkten echter op dat het niet uitmaakt wie de experimenten uitvoerde, waar de experimenten werden uitgevoerd, of welk sterlicht werd gebruikt, de gemeten lichtsnelheid in een vacuüm was altijd hetzelfde.

Einstein zei dat dit gebeurt omdat er iets onverwachts is aan lengte en duur, of hoe lang iets duurt. Hij dacht dat als de Aarde door de ruimte beweegt, alle meetbare duren heel licht veranderen. Elke klok die gebruikt wordt om een duur te meten zal verkeerd zijn met precies de juiste hoeveelheid, zodat de snelheid van het licht gelijk blijft. Door ons een "lichtklok" voor te stellen kunnen we dit opmerkelijke feit voor het geval van een enkele lichtgolf beter begrijpen.

Ook zei Einstein dat als de Aarde door de ruimte beweegt, alle meetbare lengtes veranderen (een beetje). Elk apparaat dat lengte meet zal een lengte afgeven met precies de juiste hoeveelheid zodat de snelheid van het licht gelijk blijft.

Het moeilijkst te begrijpen is dat gebeurtenissen die in het ene kader simultaan lijken te zijn, in het andere kader niet simultaan lijken te zijn. Dit heeft veel effecten die niet gemakkelijk waar te nemen of te begrijpen zijn. Aangezien de lengte van een object de afstand van kop tot staart op één simultaan moment is, volgt hieruit dat als twee waarnemers het niet eens zijn over welke gebeurtenissen simultaan zijn, dit hun metingen van de lengte van objecten (soms dramatisch) zal beïnvloeden. Bovendien, als een lijn van klokken gesynchroniseerd lijkt met een stilstaande waarnemer en niet synchroon lijkt te lopen met diezelfde waarnemer na versnelling tot een bepaalde snelheid, dan volgt dat tijdens de versnelling de klokken met verschillende snelheden liepen. Sommige kunnen zelfs achteruit lopen. Deze redenering leidt tot algemene relativiteit.

Andere wetenschappers voordat Einstein had geschreven over het licht lijkt te gaan dezelfde snelheid, ongeacht hoe het werd waargenomen. Wat de theorie van Einstein zo revolutionair maakte is dat het de meting van de lichtsnelheid per definitie constant vindt, met andere woorden het is een natuurwet. Dit heeft de opmerkelijke implicaties dat snelheidsgerelateerde metingen, lengte en duur, veranderen om hieraan tegemoet te komen.

De Lorentz-transformaties

De wiskundige grondslagen van de bijzondere relativiteit zijn de Lorentz-transformaties, die mathematisch de opvattingen over ruimte en tijd beschrijven voor twee waarnemers die ten opzichte van elkaar bewegen maar geen versnelling ervaren.

Om de transformaties te definiëren gebruiken we een Cartesiaans coördinatensysteem om de tijd en ruimte van "gebeurtenissen" wiskundig te beschrijven.

Elke waarnemer kan een gebeurtenis beschrijven als de positie van iets in de ruimte op een bepaalde tijd, met behulp van coördinaten (x,y,z,t).

De locatie van de gebeurtenis is gedefinieerd in de eerste drie coördinaten (x,y,z) ten opzichte van een willekeurig middelpunt (0,0,0) zodat (3,3,3) een diagonaal is die 3 eenheden van afstand (zoals meters of mijlen) in elke richting uitgaat.

De tijd van de gebeurtenis wordt beschreven met de vierde coördinaat t ten opzichte van een willekeurig (0) punt in de tijd in een bepaalde tijdseenheid (zoals seconden of uren of jaren).

Laat er een waarnemer K zijn die beschrijft wanneer gebeurtenissen zich voordoen met een tijdcoördinaat t, en die beschrijft waar gebeurtenissen zich voordoen met ruimtelijke coördinaten x, y, en z. Dit is een wiskundige definitie van de eerste waarnemer wiens "gezichtspunt" onze eerste referentie zal zijn.

Laten we aangeven dat de tijd van een gebeurtenis is gegeven: tegen de tijd dat deze wordt waargenomen t_{(geobserveerd)} (zeg vandaag, om 12 uur) minus de tijd die nodig was voor de waarneming om de waarnemer te bereiken.

Dit kan worden berekend als de afstand van de waarnemer tot de gebeurtenis d_{(geobserveerd)} (zeg dat de gebeurtenis op een ster staat die 1 lichtjaar verwijderd is, dus het duurt 1 jaar om de waarnemer te bereiken) gedeeld door c, de snelheid van het licht (enkele miljoenen mijlen per uur), die we definiëren als zijnde hetzelfde voor alle waarnemers.

Dit is correct omdat afstand, gedeeld door snelheid, de tijd geeft die nodig is om die afstand met die snelheid te gaan (bijvoorbeeld 30 mijl gedeeld door 10 mijl per uur: geef ons 3 uur, want als je 3 uur lang met 10 mijl per uur gaat, bereik je 30 mijl). Dat hebben we dus gedaan:

t = d / c {\playstyle t=d/c}

Dit is een wiskundige definitie van wat elke "tijd" betekent voor elke waarnemer.

Nu met deze definities op zijn plaats, laat er een andere waarnemer K' zijn die

• die langs de x-as van K beweegt met een snelheid van v,
• heeft een ruimtelijk coördinatenstelsel van x' , y' , en z' ,

waarbij de x-as samenvalt met de x-as, en met de y- en z-as - "altijd evenwijdig" aan de y- en z-as.

Dit betekent dat wanneer K' een plaats geeft als (3,1,2), de x (die in dit voorbeeld 3 is) dezelfde plaats is waar K, de eerste waarnemer het over zou hebben, maar de 1 op de y-as of de 2 op de z-as zijn slechts parallel aan een of andere plaats op het coördinatenstelsel van de K' waarnemer, en

• waarbij K en K' samenvallen bij t = t' = 0

Dit betekent dat de coördinaat (0,0,0,0) voor beide waarnemers dezelfde gebeurtenis is.

Met andere woorden, beide waarnemers hebben (ten minste) één tijdstip en locatie waar ze het over eens zijn, namelijk locatie en tijd nul.

De Lorentz Transformations zijn dan

t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\playstyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^2}/c^{2}}}}}

x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}

y ′ = y ′displaystyle y′ =y′. en

z ′ = z \\playstyle z′ =z′ .

Definieer een gebeurtenis om ruimtetijdcoördinaten (t,x,y,z) in het systeem S en (t′,x′,y′,z′) in een referentiekader te hebben dat met een snelheid v ten opzichte van dat kader, S′, beweegt. De Lorentz-transformatie geeft aan dat deze coördinaten als volgt samenhangen: is de Lorentz-factor en c is de lichtsnelheid in vacuüm, en de snelheid v van S′ is evenwijdig aan de x-as. Voor de eenvoud worden de y- en z-coördinaten niet beïnvloed; alleen de x- en t-coördinaten worden getransformeerd. Deze Lorentz-transformaties vormen een groep van lineaire mappings met één parameter, die snelheid wordt genoemd.

Het oplossen van de bovenstaande vier transformatievergelijkingen voor de onbewerkte coördinaten levert de inverse Lorentz-transformatie op:

t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}

Het afdwingen van deze omgekeerde Lorentz-transformatie om samen te vallen met de Lorentz-transformatie van het geprimede naar het ongeprimede systeem, toont het ongeprimede frame als bewegend met de snelheid v′ = -v, zoals gemeten in het geprimede frame.

Er is niets bijzonders aan de x-as. De transformatie kan van toepassing zijn op de y- of z-as, of zelfs in elke richting, wat kan gebeuren door richtingen parallel aan de beweging (die vervormd zijn door de γ-factor) en loodrecht; zie het artikel Lorentz-transformatie voor details.

Een hoeveelheid invariant onder Lorentz-transformaties staat bekend als een Lorentz-scalaar.

Het schrijven van de Lorentz-transformatie en de inverse ervan in termen van coördinaatverschillen, waarbij de ene gebeurtenis coördinaten (x1, t1) en (x′1, t′1) heeft, een andere gebeurtenis coördinaten (x2, t2) en (x′2, t′2) heeft, en de verschillen zijn gedefinieerd als

Eq. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . {\\Delta x'=x'_-x'_1}, \Delta t'=t'_2}-t'_1} . }

Eq. 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\\Delta x=x_{2}-x_1}, \Delta t=t_{2}-t_1} . }

we krijgen

Eq. 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\\Delta x'=gamma \ (\Delta x-v\, \Delta t)\, \} Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . . }

Eq. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\\\Delta x=gamma \ (\Delta x'+v\, \Delta t')} Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . . }

Als we verschillen nemen in plaats van verschillen, krijgen we

Eq. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\ displaystyle dx'=gamma \ (dx-v\, dt)\, \ ′dt ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . . }

Eq. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\playstyle dx=gamma \ (dx'+v\,dt')\, \ } d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . . }

Massa, energie en momentum

In speciale relativiteit zijn de impulsen p en de totale energie E van een object als functie van zijn massa m.

p = m v 1 - v 2 c 2 {\frac {mv}{sqrt {1-{frac {v^2}}{c^2}}}}}}}}

en

E = m c 2 1 - v 2 c 2 {\frac {mc {2}} {sqrt {1-{frac {v^2}}{c^2}}}}}}}} .

Een veelgemaakte fout (ook in sommige boeken) is het herschrijven van deze vergelijking met behulp van een "relativistische massa" (in de richting van de beweging) van m r = m 1 - v 2 c 2 {\\frac {\frac {m}={\frac {1-{frac {v^2}}{c^{2}}}}}}}} . De reden waarom dit niet klopt is dat bijvoorbeeld licht geen massa heeft, maar wel energie. Als we deze formule gebruiken dan heeft het foton (lichtdeeltje) een massa, die volgens experimenten onjuist is.

In bijzondere relativiteit zijn de massa, de totale energie en het momentum van een object met elkaar verbonden door de vergelijking

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\playstyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^4}} .

Voor een object in rust is p = 0 {\playstyle p=0}, dus de bovenstaande vergelijking vereenvoudigt naar E = m c 2 {displaystyle E=mc^{2}} . Een massief object in rust heeft dus nog steeds energie. We noemen dit rust energie en geven het aan met E 0 {\\playstyle E_0}} :

E 0 = m c 2 {\playstyle E_{0}=mc^{2}} .

Geschiedenis

De behoefte aan speciale relativiteit ontstond uit Maxwell's vergelijkingen van elektromagnetisme, die in 1865 werden gepubliceerd. Later bleek dat ze vragen om elektromagnetische golven (zoals licht) met een constante snelheid (d.w.z. de snelheid van het licht) te bewegen.

Om James Clerk Maxwell's vergelijkingen in overeenstemming te brengen met zowel astronomische waarnemingen^[1] als de Newtoniaanse fysica,^[2] stelde Maxwell in 1877 voor dat licht door een ether reist die overal in het universum aanwezig is.

In 1887 probeerde het beroemde Michelson-Morley-experiment de "etherwind" te detecteren die door de beweging van de aarde werd gegenereerd. ^[3] De hardnekkige nulresultaten van dit experiment brachten de natuurkundigen in verwarring en trokken de ethertheorie in twijfel.

In 1895, merkten Lorentz en Fitzgerald op dat het nulresultaat van het Michelson-Morley experiment zou kunnen worden verklaard door de etherwind die het experiment in de richting van de beweging van de ether aangaat. Dit effect wordt de Lorentz-samentrekking genoemd, en is (zonder ether) een gevolg van speciale relativiteit.

In 1899 publiceerde Lorentz voor het eerst de Lorentz-vergelijkingen. Hoewel dit niet de eerste keer was dat ze werden gepubliceerd, was het wel de eerste keer dat ze werden gebruikt als een verklaring voor het nulresultaat van de Michelson-Morley, aangezien de Lorentz-samentrekking er een gevolg van is.

In 1900 hield Poincaré een beroemde toespraak waarin hij de mogelijkheid overwoog dat er een "nieuwe fysica" nodig was om het Michelson-Morley-experiment uit te leggen.

In 1904 toonde Lorentz aan dat elektrische en magnetische velden door de Lorentz-transformaties in elkaar kunnen worden veranderd.

In 1905 publiceerde Einstein zijn artikel "On the Electrodynamics of Moving Bodies" in Annalen der Physik. In dit artikel presenteerde hij de postulaten van de relativiteit, afgeleid van de Lorentz-transformaties, en (onbewust van Lorentz's artikel uit 1904) toonde ook aan hoe de Lorentz-transformaties invloed hebben op elektrische en magnetische velden.

Later in 1905 publiceerde Einstein nog een artikel waarin E = mc2 werd gepresenteerd.

In 1908 onderschreef Max Planck de theorie van Einstein en noemde het "relativiteit". In datzelfde jaar gaf Hermann Minkowski een beroemde toespraak over Ruimte en Tijd waarin hij liet zien dat relativiteit zelfconsistent is en de theorie verder ontwikkelde. Deze gebeurtenissen dwongen de natuurkundige gemeenschap om de relativiteit serieus te nemen. Relativiteit werd daarna steeds meer geaccepteerd.

In 1912 werden Einstein en Lorentz genomineerd voor de Nobelprijs voor de natuurkunde vanwege hun pionierswerk op het gebied van relativiteit. Helaas was de relativiteit toen zo controversieel, en bleef zo lang controversieel dat er nooit een Nobelprijs voor werd toegekend.

Experimentele bevestigingen

• Het Michelson-Morley-experiment, dat geen verschil in de snelheid van het licht heeft gedetecteerd op basis van de richting van de beweging van het licht.
• Fizeau's experiment, waarbij de brekingsindex voor licht in bewegend water niet lager kan zijn dan 1. De waargenomen resultaten worden verklaard door de relativistische regel voor het toevoegen van snelheden.
• De energie en het momentum van het licht gehoorzamen aan de vergelijking E = p c {\playstyle E=pc} . (In de Newtoniaanse fysica wordt verwacht dat dit E = 1 2 p c is.
• Het transversale dopplereffect, waarbij het licht dat door een snel bewegend object wordt uitgestraald, roodverschuift wordt door de tijdsdilatatie.
• De aanwezigheid van muonen die in de bovenste atmosfeer aan het aardoppervlak zijn ontstaan. Het probleem is dat het veel langer duurt dan de halfwaardetijd van de muonen om naar het aardoppervlak te komen, zelfs met bijna de lichtsnelheid. Hun aanwezigheid kan gezien worden als ofwel het gevolg van tijddilatatie (in onze ogen) ofwel de lengtecontractie van de afstand tot het aardoppervlak (in de ogen van de muonen).
• Deeltjesversnellers kunnen niet worden geconstrueerd zonder rekening te houden met de relativistische fysica.

Gerelateerde pagina's

• Algemene relativiteit