Voor de tweede operand van een deling, zie deling (wiskunde).

In de wiskunde is een deler van een geheel getal n, ook wel factor van n genoemd, een geheel getal dat n gelijkmatig deelt zonder dat er een rest overblijft. Elk getal is altijd gelijkelijk deelbaar door 1 en zichzelf, twee van de delers. Een priemgetal heeft geen andere delers.

Het vinden van een of meer factoren van een gegeven getal heet factoriseren.

 

Verdere definitie en notatie

Als d en n gehele getallen zijn, zegt men dat d een deler is van n (en schrijft men d | n) als er een geheel getal k bestaat zodanig dat n = d·k. In veel contexten spreekt men van positieve delers en beschouwt men alleen gehele positieve getallen als delers; in dat geval heeft elk positief geheel getal minstens de delers 1 en zichzelf.

Positieve en negatieve delers, nul

  • Als d een deler van n is, dan is ook -d een deler van n. Vaak beperkt men zich tot positieve delers voor overzichtelijkheid.
  • Elke niet‑nul deler deelt 0: voor elke d ≠ 0 geldt d | 0 omdat 0 = d·0.
  • De stelling 0 | n geldt alleen als n = 0, omdat 0·k = 0 voor alle k.

Soorten delers

  • Priemgetal: een geheel getal groter dan 1 met precies twee positieve delers: 1 en zichzelf (bijv. 2, 3, 5, 7…).
  • Samenstelling: een geheel getal groter dan 1 dat meer dan twee positieve delers heeft (bijv. 6 = 2·3, 12 = 2·2·3).
  • Eenheid: 1 en −1 worden units genoemd in ring‑terminologie; zij hebben speciale eigenschappen bij deling en factorisatie.
  • Eigenlijke (proper) delers: alle delers behalve het getal zelf. Bijvoorbeeld de eigenlijke positieve delers van 12 zijn 1, 2, 3, 4 en 6.

Fundamentele stelling van de rekenkunde

Elke integer groter dan 1 kan op een unieke manier (behalve volgorde) worden geschreven als een product van priemgetallen. Dit is de fundamentele stelling van de rekenkunde (unieke priemfactorisatie). Voorbeeld: 360 = 2^3 · 3^2 · 5.

Eigenschappen en toepassingen

  • Aantal delers: Als n = p1^a1 · p2^a2 · … · pr^ar de priemontbinding is, dan heeft n precies (a1+1)(a2+1)…(ar+1) positieve delers.
  • Som van delers: De som van alle positieve delers van n kan berekend worden met een productvormule aan de hand van de priemfactoren (functie σ(n)).
  • Grootste gemene deler (ggd): De grootste positieve gemeenschappelijke deler van twee getallen kan worden gevonden met het Euclidische algoritme. Voorbeeld: ggd(48, 18) = 6.
  • Kleinste gemene veelvoud (kgv): Voor twee gehele getallen a en b geldt |a·b| = ggd(a,b) · kgv(a,b).
  • Perfecte, overvolle en gebrekkige getallen: Een getal is perfect als de som van zijn eigenlijke positieve delers gelijk is aan het getal zelf (bijv. 6 = 1+2+3). Is de som groter dan het getal, dan heet het overvloedig; is de som kleiner, dan heet het gebrekkig.

Delingsregels en snelle tests

Er bestaan eenvoudige regels om te controleren of een getal deelbaar is door kleine priemgetallen (handig bij factoriseren):

  • Deelbaarheid door 2: laatste cijfer even.
  • Door 3: som van cijfers deelbaar door 3.
  • Door 5: laatste cijfer 0 of 5.
  • Door 9: som van cijfers deelbaar door 9.
  • Door 11: verschil tussen som van cijfers op even en oneven posities deelbaar door 11.

Factorisatietechnieken

Kleine getallen factoriseert men vaak met proefdeling: delen door opeenvolgende priemen (2, 3, 5, 7, …) tot de rest 1 of de deler groter wordt dan √n. Voor grotere getallen bestaan efficiëntere algoritmen:

  • Fermat's methode (geschikt als factoren dicht bij elkaar liggen).
  • Pollard's rho (praktisch voor middelgrote getallen).
  • Quadratic sieve en general number field sieve (sophisticeerdere methoden voor zeer grote getallen; laatste wordt gebruikt bij factoring van getallen met honderden cijfers).

Factorisatie is in het algemeen rekenkundig zwaar, en dit feit wordt gebruikt in cryptografie (bijv. RSA), waar de veiligheid steunt op de moeilijkheid van het ontbinden van zeer grote getallen in priemfactoren.

Voorbeelden

  • Delers van 12 (positief): 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  • Priemfactorisatie: 84 = 2^2 · 3 · 7. Aantal positieve delers = (2+1)(1+1)(1+1) = 12.
  • Euclidisch algoritme: 48 = 18·2 + 12; 18 = 12·1 + 6; 12 = 6·2 + 0 ⇒ ggd(48,18) = 6.

Samenvatting

Een deler van een geheel getal is een geheel getal dat het eerste zonder rest deelt. Het begrip is fundamenteel in de getaltheorie en vormt de basis voor construeren van priemfactorisaties, het berekenen van ggd en kgv, en vele eigenschappen zoals aantal en som van delers. Factorisatie van grote getallen is zowel een theoretisch interessante als praktisch belangrijke (en vaak moeilijke) opgave.