Deler (wiskunde): Definitie, eigenschappen en factorisatie

Ontdek wat een deler (factor) is, leer essentiële eigenschappen, priemgetallen en duidelijke methoden voor factorisatie — heldere uitleg voor wiskunde en probleemoplossen.

Schrijver: Leandro Alegsa

11-02-2026 22:33

Voor de tweede operand van een deling, zie deling (wiskunde).

In de wiskunde is een deler van een geheel getal n, ook wel factor van n genoemd, een geheel getal dat n gelijkmatig deelt zonder dat er een rest overblijft. Elk getal is altijd gelijkelijk deelbaar door 1 en zichzelf, twee van de delers. Een priemgetal heeft geen andere delers.

Het vinden van een of meer factoren van een gegeven getal heet factoriseren.

Verdere definitie en notatie

Als d en n gehele getallen zijn, zegt men dat d een deler is van n (en schrijft men d | n) als er een geheel getal k bestaat zodanig dat n = d·k. In veel contexten spreekt men van positieve delers en beschouwt men alleen gehele positieve getallen als delers; in dat geval heeft elk positief geheel getal minstens de delers 1 en zichzelf.

Positieve en negatieve delers, nul

Als d een deler van n is, dan is ook -d een deler van n. Vaak beperkt men zich tot positieve delers voor overzichtelijkheid.
Elke niet‑nul deler deelt 0: voor elke d ≠ 0 geldt d | 0 omdat 0 = d·0.
De stelling 0 | n geldt alleen als n = 0, omdat 0·k = 0 voor alle k.

Soorten delers

Priemgetal: een geheel getal groter dan 1 met precies twee positieve delers: 1 en zichzelf (bijv. 2, 3, 5, 7…).
Samenstelling: een geheel getal groter dan 1 dat meer dan twee positieve delers heeft (bijv. 6 = 2·3, 12 = 2·2·3).
Eenheid: 1 en −1 worden units genoemd in ring‑terminologie; zij hebben speciale eigenschappen bij deling en factorisatie.
Eigenlijke (proper) delers: alle delers behalve het getal zelf. Bijvoorbeeld de eigenlijke positieve delers van 12 zijn 1, 2, 3, 4 en 6.

Fundamentele stelling van de rekenkunde

Elke integer groter dan 1 kan op een unieke manier (behalve volgorde) worden geschreven als een product van priemgetallen. Dit is de fundamentele stelling van de rekenkunde (unieke priemfactorisatie). Voorbeeld: 360 = 2^3 · 3^2 · 5.

Eigenschappen en toepassingen

Aantal delers: Als n = p1^a1 · p2^a2 · … · pr^ar de priemontbinding is, dan heeft n precies (a1+1)(a2+1)…(ar+1) positieve delers.
Som van delers: De som van alle positieve delers van n kan berekend worden met een productvormule aan de hand van de priemfactoren (functie σ(n)).
Grootste gemene deler (ggd): De grootste positieve gemeenschappelijke deler van twee getallen kan worden gevonden met het Euclidische algoritme. Voorbeeld: ggd(48, 18) = 6.
Kleinste gemene veelvoud (kgv): Voor twee gehele getallen a en b geldt |a·b| = ggd(a,b) · kgv(a,b).
Perfecte, overvolle en gebrekkige getallen: Een getal is perfect als de som van zijn eigenlijke positieve delers gelijk is aan het getal zelf (bijv. 6 = 1+2+3). Is de som groter dan het getal, dan heet het overvloedig; is de som kleiner, dan heet het gebrekkig.

Delingsregels en snelle tests

Er bestaan eenvoudige regels om te controleren of een getal deelbaar is door kleine priemgetallen (handig bij factoriseren):

Deelbaarheid door 2: laatste cijfer even.
Door 3: som van cijfers deelbaar door 3.
Door 5: laatste cijfer 0 of 5.
Door 9: som van cijfers deelbaar door 9.
Door 11: verschil tussen som van cijfers op even en oneven posities deelbaar door 11.

Factorisatietechnieken

Kleine getallen factoriseert men vaak met proefdeling: delen door opeenvolgende priemen (2, 3, 5, 7, …) tot de rest 1 of de deler groter wordt dan √n. Voor grotere getallen bestaan efficiëntere algoritmen:

Fermat's methode (geschikt als factoren dicht bij elkaar liggen).
Pollard's rho (praktisch voor middelgrote getallen).
Quadratic sieve en general number field sieve (sophisticeerdere methoden voor zeer grote getallen; laatste wordt gebruikt bij factoring van getallen met honderden cijfers).

Factorisatie is in het algemeen rekenkundig zwaar, en dit feit wordt gebruikt in cryptografie (bijv. RSA), waar de veiligheid steunt op de moeilijkheid van het ontbinden van zeer grote getallen in priemfactoren.

Voorbeelden

Delers van 12 (positief): 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Priemfactorisatie: 84 = 2^2 · 3 · 7. Aantal positieve delers = (2+1)(1+1)(1+1) = 12.
Euclidisch algoritme: 48 = 18·2 + 12; 18 = 12·1 + 6; 12 = 6·2 + 0 ⇒ ggd(48,18) = 6.

Samenvatting

Een deler van een geheel getal is een geheel getal dat het eerste zonder rest deelt. Het begrip is fundamenteel in de getaltheorie en vormt de basis voor construeren van priemfactorisaties, het berekenen van ggd en kgv, en vele eigenschappen zoals aantal en som van delers. Factorisatie van grote getallen is zowel een theoretisch interessante als praktisch belangrijke (en vaak moeilijke) opgave.

Verklaring

Bijvoorbeeld, 7 is een deler van 42 want 42÷7 = 6. We zeggen ook dat 42 deelbaar is door 7 of 42 is een veelvoud van 7 of 7 deelt 42 of 7 is een factor van 42 en we schrijven meestal 7 | 42. Bijvoorbeeld, de positieve delers van 42 zijn 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.

In het algemeen zeggen we m÷n voor gehele getallen m en n zonder nul als er een geheel getal k bestaat zodat n = km. Delers kunnen dus zowel negatief als positief zijn, hoewel we ons vaak beperken tot positieve delers. (Er zijn bijvoorbeeld zes delers van vier, 1, 2, 4, -1, -2, -4, maar men noemt meestal alleen de positieve, 1, 2 en 4).

1 en -1 delen (zijn delers van) elk geheel getal, elk geheel getal is een deler van zichzelf, en elk geheel getal is een deler van 0, behalve volgens afspraak 0 zelf (zie ook deling door nul). Getallen die deelbaar zijn door 2 heten even en getallen die niet deelbaar zijn door 2 heten oneven.

Een deler van n die niet 1, -1, n of -n is, wordt een niet-triviale deler genoemd; getallen met niet-triviale delers worden samengestelde getallen genoemd, terwijl priemgetallen geen niet-triviale delers hebben.

De naam komt van de rekenkundige bewerking van deling: als a÷b = c dan is a het dividend, b de deler, en c het quotiënt.

Het spotten van delers

Er zijn eigenschappen waarmee men bepaalde delers van een getal kan herkennen aan de cijfers van het getal. Die eigenschappen kunnen worden gebruikt als "wiskundige trucs" om snel bepaalde delers van een getal te herkennen.

Bijvoorbeeld, als het laatste cijfer even is (0, 2, 4, 6 of 8), dan is 2 een deler. Als het laatste cijfer 0 of 5 is, dan is 5 een deler. Zijn de cijfers opgeteld een veelvoud van 3, dan is 3 een deler. Voor het getal 340, eindigend op "0", zijn zowel 2 als 5 delers, plus 2×5 = 10 is ook een deler. Delen door 10, 340/10 = 34, en tenslotte 2×17. Door alle kleinere getallen te combineren, zijn de 12 delers van 340:

delers van 340: 1, 2, 4, 5, 10, 17, 20, 34, 68, 85, 170, 340.

Merk op dat elk getal altijd gelijkelijk deelbaar is door 1 en zichzelf.

Vragen en antwoorden

V: Wat is een deler in de wiskunde?

A: Een deler van een geheel getal n, ook bekend als een factor van n, is een geheel getal dat n deelt zonder dat er een rest overblijft.

V: Hoe wordt de uitspraak "m is een deler van n" geschreven?

Antwoord: De bewering "m is een deler van n" kan worden geschreven als m|n, waarbij "|" "deelt" betekent.

V: Welke getallen zijn altijd deelbaar door een getal?

A: Elk getal is altijd deelbaar door 1 en zichzelf, twee van de delers.

V: Wat is een priemgetal?

A: Een priemgetal is een getal zonder andere delers.

Vraag: Wat zijn de eigenlijke delers van een getal n?

A: De eigenlijke delers van een getal n, behalve n zelf, zijn de positieve delers van n.

V: Wat is factoriseren?

A: Het vinden van één of meer factoren van een gegeven getal heet factoriseren.

V: Wat is het verschil tussen een deler en een factor?

Antwoord: Er is geen verschil tussen een deler en een factor. Het zijn twee termen die door elkaar worden gebruikt om te verwijzen naar een geheel getal dat een ander geheel getal deelt zonder dat er een rest overblijft.

Zoek in de encyclopedie