Hoofdstelling van de rekenkunde | een stelling uit de getaltheorie

De fundamentele stelling van de rekenkunde (ook wel de unieke factorisatiestelling genoemd) is een stelling uit de getaltheorie. De stelling zegt dat elk positief geheel getal groter dan 1 kan worden geschreven als een product van priemgetallen (of het geheel getal is zelf een priemgetal). De stelling zegt ook dat er maar één manier is om het getal te schrijven. Als twee mensen twee verschillende manieren hebben gevonden om het getal te schrijven, is het enige dat kan verschillen de volgorde waarin de priemgetallen worden geschreven. We kunnen bijvoorbeeld schrijven:

6936 = 23 - 3 - 172 of 1200 = 24 - 3 - 52

en als iemand anders een andere manier vindt om 6936 of 1200 te schrijven als product van priemgetallen, kunnen we die priemgetallen in de juiste volgorde zetten en ontdekken dat het hetzelfde is als wat we hier hebben. Het vinden van de priemgetallen heet factoriseren.

Deze stelling kan worden gebruikt in de cryptografie.


 

Bewijs

De eerste die de stelling bewees was Euclides. Het eerste gedetailleerde en correcte bewijs stond in de Disquisitiones Arithmeticae van Carl Friedrich Gauß.

Sommige mensen denken misschien dat de stelling overal waar is. De stelling is echter niet waar in meer algemene getallenstelsels, zoals algebraïsche gehele getallen. Dit werd voor het eerst vermeld door Ernst Kummer in 1843, in zijn werk over de laatste stelling van Fermat. Voor meer informatie daarover: lees algebraïsche getaltheorie.

Het bewijs bestaat uit twee delen: eerst tonen we aan dat elk getal kan worden geschreven als een product van priemgetallen; ten tweede tonen we aan dat als we een getal voor een tweede keer schrijven als een product van priemgetallen, de twee lijsten van priemgetallen hetzelfde moeten zijn.

Eerste deel van het bewijs

Wij tonen aan dat als niet elk getal groter dan 1 kan worden geschreven als een product van priemgetallen, wij in een soort onmogelijkheid terechtkomen. Daarna concluderen we dus dat het waar moet zijn dat elk getal kan worden geschreven als een product van priemgetallen.

Kijk nu wat er gebeurt als iemand zegt dat hij/zij een positief geheel getal groter dan 1 kent dat niet kan worden geschreven als een product van priemgetallen. In dat geval vragen we hem/haar om alle getallen groter dan 1 te noemen die niet kunnen worden geschreven als een product van priemgetallen. Een van deze getallen moet het kleinste zijn: laten we het n noemen. Natuurlijk kan dit getal n niet 1 zijn. Verder kan het geen priemgetal zijn, want een priemgetal is een 'product' van één priemgetal: zichzelf. Het moet dus een product van getallen zijn. Dus-

n = ab

waarbij zowel a als b positieve gehele getallen zijn die natuurlijk kleiner zijn dan n. Maar: n was het kleinste getal dat niet kan worden geschreven als een product van priemgetallen. Het moet dus mogelijk zijn a en b te schrijven als producten van priemgetallen, omdat ze allebei kleiner zijn dan n. Maar dan is het product

n = ab

kan ook worden geschreven als een product van priemgetallen. Dit is een onmogelijkheid omdat wij hebben gezegd dat n niet kan worden geschreven als een product van priemgetallen.

Wij hebben nu de onmogelijkheid aangetoond die bestaat als het eerste deel van de stelling niet waar zou zijn. Zo hebben wij nu het eerste deel van de stelling bewezen.

Tweede deel van het bewijs

Nu moeten we bewijzen dat er maar één manier is om een positief getal groter dan 1 te schrijven als een product van priemgetallen.

Hiervoor gebruiken wij het volgende lemma: als een priemgetal p een product ab deelt, dan deelt het a of het deelt b (lemma van Euclides). We bewijzen nu eerst dit lemma. Stel nu dat p niet deelt in a. Dan zijn p en a coprime en hebben we de identiteit van Bezout die zegt dat er gehele getallen x en y moeten zijn zodat

px + ay = 1.

Alles vermenigvuldigen met b geeft

pbx + aby = b,

Vergeet niet dat ab gedeeld kan worden door p. Dus nu hebben we aan de linkerkant twee termen die deelbaar zijn door p. Dus de term aan de rechterkant is ook deelbaar door p. We hebben nu bewezen dat als p a niet deelt, hij b moet delen.

Nu zullen we bewijzen dat we een geheel getal groter dan 1 slechts op één manier kunnen schrijven als een product van priemgetallen. Neem twee producten van priemgetallen A en B die dezelfde uitkomst hebben. We weten dus voor de uitkomst van de producten dat A = B. Neem een willekeurige priem p uit het eerste product A. Die deelt A, dus die deelt ook B. Door verschillende keren het lemma te gebruiken dat we net bewezen hebben, kunnen we zien dat p dan minstens één factor b van B moet delen. Maar de factoren zijn zelf allemaal priemgetallen, dus ook b is priem. Maar we weten dat p ook priem is, dus p moet gelijk zijn aan b. Dus nu delen we A door p en delen we ook B door p. En we krijgen een resultaat als A* = B*. Opnieuw kunnen we een priem p nemen uit het eerste product A* en vaststellen dat die gelijk is aan een getal in het product B*. Als we zo doorgaan, zien we aan het eind dat de priemfactoren van de twee producten precies gelijk moeten zijn. Dit bewijst dat we een positief geheel getal slechts op één unieke manier kunnen schrijven als een product van priemgetallen.



 

Gerelateerde pagina's

  • Fundamentele stelling van de algebra

Deelbaarheidsreeksen van gehele getallen

Overzicht

  • Facturering van gehele getallen
  • Deler
  • Eenheidsdeler
  • Delersfunctie
  • Voornaamste factor
  • Fundamentele stelling van de rekenkunde

Divisibility of 60

Factorisatievormen

  • Prime
  • Composiet
  • Halfpriem
  • Pronic
  • Sphenic
  • Vierkantloos
  • Krachtig
  • Perfect vermogen
  • Achilles
  • Glad
  • Regelmatig
  • Ruwe
  • Ongewoon

Beperkte delersommen

  • Perfect
  • Bijna perfect
  • Quasiperfect
  • Perfecte vermenigvuldiging
  • Hemiperfect
  • Hyperperfect
  • Superperfect
  • Unitair perfect
  • Semiperfect
  • Praktisch
  • Erdős-Nicolas

Met veel delers

  • Overvloedig
  • Primitief overvloedig
  • Zeer overvloedig
  • Overvloedig
  • Kolossaal overvloedig
  • Zeer samengesteld
  • Superieur zeer samengesteld
  • Rare

Aliquot sequentie gerelateerd

  • Onaantastbaar
  • Minnelijk (Drievoudig)
  • Gezellig
  • Betrothed

Basisafhankelijk

  • Equidigital
  • Extravagante
  • Spaarzaam
  • Harshad
  • Polydivisible
  • Smith

Andere sets

  • Rekenkundig
  • Gebrekkig
  • Vriendelijk
  • Eenzame
  • Subliem
  • Harmonische deler
  • Descartes
  • Refactorable
  • Superperfect
 

Vragen en antwoorden

V: Wat is de Fundamentele Stelling van de Rekenkunde?
A: De Fundamentele Stelling van de Rekenkunde is een stelling uit de getaltheorie die stelt dat elk positief geheel getal groter dan 1 kan worden geschreven als een product van priemgetallen, en dat er slechts één manier is om het getal te schrijven.

V: Hoe kan deze stelling worden gebruikt?
Antwoord: Deze stelling kan worden gebruikt in de cryptografie.

V: Wat gebeurt er als twee mensen twee verschillende manieren vinden om hetzelfde getal te schrijven?
A: Als twee mensen twee verschillende manieren vinden om hetzelfde getal te schrijven, dan is het enige dat kan verschillen de volgorde waarin de priemgetallen worden geschreven.

V: Wat is ontbinding in factoren?
A: Factoriseren is het vinden van alle priemgetallen waaruit een bepaald getal bestaat.

V: Is 6936 een voorbeeld van een priemgetal?
A: Nee, 6936 is geen priemgetal; het kan worden geschreven als 23 - 3 - 172.
Nee, 6936 is geen priemgetal; het kan worden geschreven als 23 - 3 - 172.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2022 - License CC3