Nadat hij in 1949 als tweede was geëindigd in de Franse nationale jeugdvoetbaltest, begon Kopa op 17-jarige leeftijd zijn professionele carrière bij SCO Angers in Ligue 2. Twee jaar later werd hij overgeplaatst naar Reims, waarmee hij in 1953 en 1955 Franse kampioenschappen won.
Hij won de Latin Cup 1953 met Stade de Reims, waar ze AC Milan met 3-0 versloegen in de finale, en hielp hen de finale van de Europacup 1956 te bereiken, die het team verloor van Alfredo Di Stéfano's Real Madrid, met 4-3.
Kopa was ook de eerste Franse speler die de Europese beker won toen Madrid in 1957 in de finale Fiorentina met 2-0 versloeg. Hij zou opnieuw Europees kampioen worden in 1958 en 1959, de laatste keer tegen het voormalige Stade de Reims, waar Just Fontaine speelde.
In het seizoen 1959-60 keerde Kopa terug naar Frankrijk om zijn carrière af te sluiten bij Reims, waar hij in 1960 en 1962 nog meer Championnats won. In totaal scoorde hij 75 doelpunten in 346 wedstrijden in de Franse hoogste klasse, en hij kreeg de Ballon d'or van France Football in 1958.
Met het nationale voetbalteam van Frankrijk scoorde Kopa tussen 1952 en 1962 18 doelpunten in 45 wedstrijden. Hij speelde in 1958 op de FIFA World Cup in Zweden.