AlegsaOnline.com

Fermats laatste stelling: definitie, geschiedenis en het bewijs van 1995

Ontdek Fermats laatste stelling: duidelijke definitie, historische achtergrond en het baanbrekende bewijs van 1995 — begrip, controverses en impact op de wiskunde.

Schrijver: Leandro Alegsa

27-02-2026

De Laatste Stelling van Fermat of FLT is een zeer beroemd idee in de wiskunde. Het zegt dat:

Als n {{displaystyle n} } een geheel getal groter dan 2 is, dan heeft de vergelijking $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ geen oplossingen als x, y en z natuurlijke getallen zijn.

Of,

Het is onmogelijk om twee kubussen, die opgeteld gelijk zijn aan een derde kubus, uit te drukken in hele getallen. Bovendien is het onmogelijk met iets hogers dan vierkanten.

Dit betekent dat er geen voorbeelden zijn waarbij x {displaystyle x} , y {displaystyle y} en z {displaystyle z} $z$ natuurlijke getallen zijn, d.w.z. gehele getallen groter dan nul, en waarbij n {displaystyle n} een geheel getal groter dan 2 is. Pierre de Fermat schreef hierover in 1637 in zijn exemplaar van een boek genaamd Arithmetica. Hij zei: "Ik heb een bewijs van deze stelling, maar er is niet genoeg ruimte in deze marge". Gedurende 357 jaar werd echter geen correct bewijs gevonden. Uiteindelijk werd het in 1995 bewezen. De meeste wiskundigen denken niet dat Fermat ooit een bewijs voor deze stelling in de marge heeft gehad.

In zijn oorspronkelijke vorm is het probleem als volgt:

Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Formele uitspraak en eenvoudige gevallen

Samengevat luidt de stelling: voor gehele getallen x, y, z en een geheel getal groter dan 2 is de vergelijking $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ onmogelijk, behalve in de triviale gevallen waarin één van x, y of z gelijk is aan 0.

Er zijn wel bekende oplossingen voor n = 1 (triviaal) en n = 2 (Pythagorese drietallen). Voor n = 3 en n = 4 werd de stelling al veel eerder bewezen:

n = 4: Fermat zelf gaf een bewijs met de methode van oneindige daling (infinite descent).
n = 3: Een bewijs werd door Euler geleverd in de 18de eeuw.

Belangrijke stappen in de geschiedenis

Na Fermats notitie probeerden vele wiskundigen de stelling te bewijzen of althans voor bepaalde machten n. Enkele mijlpalen zijn:

19e eeuw: resultaten van wiskundigen zoals Sophie Germain, Legendre en Dirichlet; Legendre en Dirichlet gaven onafhankelijk bewijs voor n = 5.
1870–1900: Ernst Kummer ontwikkelde de theorie van ideale getallen (idealen/cyclotomische velden) en bewees de stelling voor alle zogenoemde regelmatige priemgetallen. Dat leverde grote vooruitgang op, maar loste de algemene stelling nog niet op.
1985–1986: Gerhard Frey stelde een opmerkelijke verbinding voor: als er een niet-triviale oplossing van Fermats vergelijking zou bestaan voor een bepaalde exponent, dan kon daaruit een speciale elliptische kromme (later 'Frey-kromme' genoemd) worden geconstrueerd met ongewone eigenschappen.
1986: Ken Ribet bewees dat de Frey-kromme inderdaad niet-modulair zou zijn; hij liet hiermee zien dat Fermats stelling een rechtstreeks gevolg zou zijn van een belangrijke conjectuur in de getaltheorie — de Taniyama–Shimura–Weil‑conjectuur (de zogenaamde modulariteitconjectuur) — omdat die conjectuur juist stelde dat elk (rational) elliptisch kromme modulair is.
1993–1995: Andrew Wiles werkte jarenlang in het geheim en publiceerde in 1993 een bewijs dat voldoende van de modulariteitsconjectuur voor semistabiele elliptische krommen opleverde om Fermats laatste stelling af te leiden. Na ontdekking van een probleem in de eerste versie wisten Wiles en zijn voormalig student Richard Taylor het gat te dichten; de gecorrigeerde resultaten werden gepubliceerd in 1995.
Later is de modulariteitsstelling voor alle elliptische krommen over Q volledig bewezen (door onder anderen Breuil, Conrad, Diamond en Taylor), waardoor het verband nog steviger werd bevestigd.

Het bewijs van 1995 — in vogelvlucht

Het uiteindelijke bewijs van Fermats laatste stelling is niet één korte, elementaire redenering zoals Fermat het in de marge suggereerde. Het resultaat gebruikt moderne, geavanceerde technieken uit de algebraïsche getaltheorie, de theorie van elliptische krommen, modulovormen en Galoisrepresentaties. De hoofdlijnen zijn schematisch:

Neem aan dat er toch een niet-triviale oplossing bestaat van xⁿ + yⁿ = zⁿ voor n > 2.
Bouw daarmee een bijbehorende elliptische kromme (de Frey‑kromme). Deze kromme heeft bijzondere eigenschappen die volgens verwachtingen (en later theorie) niet zouden voorkomen voor modulair gedrag.
Ribet liet zien dat de Frey‑kromme niet modulair kan zijn als de vermeende oplossing bestaat. Maar volgens de Taniyama–Shimura‑conjectuur (modulariteitsconjectuur) moet elke elliptische kromme modulair zijn.
Wiles bewees een voldoende krachtige deelversie van de modulariteitsconjectuur voor semistabiele elliptische krommen. Daardoor ontstond een tegenstrijdigheid: de Frey‑kromme moet zowel modulair als niet‑modulair zijn. Deze contradictie sluit de veronderstelling dat er een oplossing bestaat uit, en daarmee volgt Fermats stelling.

De technische kern van Wiles' werk gebruikt zogenaamde modularity lifting theorems, de studie van de vervormingen van Galoisrepresentaties en verfijningen van Hecke-algebra's. Hoewel dat niet elementair is, is het bewijs intern logisch sluitend en geverifieerd door vakgenoten.

Gevolgen en betekenis

Fermats laatste stelling was een van de beroemdste onvervulde conjecturen in de wiskunde en had een enorme culturele en wetenschappelijke aantrekkingskracht. De uiteindelijke methode om FLT op te lossen bracht belangrijke verbindingen aan het licht tussen gebieden die eerder apart leken: klassieke diofantische vergelijkingen, elliptische krommen en modulovormen. Het werk van Wiles leidde ook tot nieuwe technieken die breed worden toegepast in de getaltheorie.

Veelvoorkomende misverstanden

Fermat had geen correct algemeen bewijs in de marge: de consensus onder historici en wiskundigen is dat Fermat onmogelijk een correct algemeen bewijs voor alle n in zijn kleine aantekening kon hebben gegeven. De middelen die in het moderne bewijs gebruikt worden waren in de 17de eeuw onbekend.
Het bewijs is niet elementair: het is niet te reduceren tot eenvoudige algebra of elementaire getaltheorie; het gebruikt diepe moderne theorieën.

Verder lezen

Simon Singh, "Fermat's Last Theorem" — populairwetenschappelijk en goed leesbaar overzicht van de geschiedenis.
Andrew Wiles, "Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem" (Annals of Mathematics, 1995) — het originele wetenschappelijke artikel.
Voor een technischere historische en wiskundige bespreking: artikelen en lesnota's over de Frey‑kromme, Ribets resultaat en modularity lifting theorems.

Als u wilt, kan ik een korte tijdlijn met jaartallen en namen opstellen of de belangrijkste wiskundige begrippen (elliptische kromme, modulovorm, Galoisrepresentatie) toegankelijk uitleggen met voorbeelden.

Overzicht

De laatste stelling van Fermat is een meer algemene vorm van de stelling van Pythagoras, een vergelijking die zegt:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Wanneer a {{displaystyle a} , b {displaystyle b} $b$ en c {displaystyle c} $c$ gehele getallen zijn, wordt dit een "Pythagoreïsch drietal" genoemd. Bijvoorbeeld, $3^{2}+4^{2}=9+16=25$ en aangezien 25 2 = 5 {\displaystyle {{2}]{25}}=5} ${\sqrt[{2}]{25}}=5$ kunnen we zeggen dat $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ een Pythagorese drievoud is. De laatste stelling van Fermat herschrijft dit als

$x^{n}+y^{n}=z^{n}$

en beweert dat, als je van de n {displaystyle n} een groter geheel getal maakt dan 2, dan kunnen a {displaystyle a} , b {displaystyle b} $b$ en c {displaystyle c} $c$ niet allemaal natuurlijke getallen zijn. Bijvoorbeeld, $3^{3}+4^{3}=27+64=91$ en ${\sqrt[{3}]{91}}=4.49794144528$ en dus $3^{3}+4^{3}=4.49794144528^{3}$ is een voorbeeld dat dit bevestigt.

Op de kwadratische vergelijking

De x en y zijn twee onbekende sommen, die de imaginaire derde som z optellen. Ondanks het feit dat er 4 termen zijn: n, x, y & z, is de n een functie die het totaal van de onbekende sommen optelt. Nul ontbreekt in deze vergelijking door de regel van "1 plus 1 is 2 en niet meer", geschreven 1+1=2+0.

Ter verduidelijking: het is bekend dat de n een som is.

Bewijs

Het bewijs werd geleverd voor sommige waarden van n {{displaystyle n} zoals n = 3 {displaystyle n=3} $n=3$ , n = 4 {displaystyle n=4} $n=4$ , n = 5 {displaystyle n=5} $n=5$ en n = 7 {displaystyle n=7}. $n=7$ , die door vele wiskundigen, waaronder Fermat, Euler, Sophie Germain, werd beheerd. Aangezien er echter een oneindig aantal Pythagoras-triples zijn, aangezien getallen eeuwig omhoog tellen, maakte dit de Laatste Stelling van Fermat moeilijk te bewijzen of te weerleggen; het volledige bewijs moet aantonen dat de vergelijking geen oplossing heeft voor alle waarden van n {displaystyle n} (wanneer n {displaystyle n} een geheel getal groter dan 2 is), maar het is niet mogelijk om eenvoudigweg elke combinatie van getallen te controleren of ze eeuwig doorgaan.

De Engelse wiskundige Andrew Wiles vond de oplossing in 1995, 358 jaar nadat Fermat erover schreef. Richard Taylor hielp hem de oplossing te vinden. Het bewijs vergde acht jaar onderzoek. Hij bewees de stelling door eerst de modulariteitstheorie te bewijzen, die toen de Taniyama-Shimura conjectuur werd genoemd. Met behulp van de stelling van Ribet kon hij een bewijs geven voor de laatste stelling van Fermat. In juni 1997 ontving hij de Wolfskehl-prijs van de Academie van Göttingen: deze bedroeg ongeveer 50.000 dollar.

Na enkele jaren discussie was men het erover eens dat Andrew Wiles het probleem had opgelost. Andrew Wiles gebruikte veel moderne wiskunde en creëerde zelfs nieuwe wiskunde toen hij zijn oplossing maakte. Deze wiskunde was onbekend toen Fermat zijn beroemde notitie schreef, dus de Fermat kon deze niet hebben gebruikt. Dit doet vermoeden dat de Fermat in feite geen volledige oplossing van het probleem had.

Kritiek op het bewijs

Vos Savant schreef in 1995 dat het bewijs van Wiles moet worden verworpen vanwege het gebruik van niet-Euclidische meetkunde. Zij zei: "de bewijsketen is gebaseerd op hyperbolische (Lobachevskiaanse) meetkunde", en omdat deze meetkunde dingen toestaat als kwadratuur van de cirkel, een "beroemde onmogelijkheid" hoewel mogelijk in hyperbolische meetkunde, dan "zouden we, als we een hyperbolische methode voor kwadratuur van de cirkel verwerpen, ook een hyperbolisch bewijs van de laatste stelling van Fermat moeten verwerpen."

Bewijs zonder elliptische

Wanneer bekend is dat n de som is van twee ordinale waarden, kan hij de getelde waarde 2 niet overschrijden als de grootste wordt genomen als 1 eenheid.

Generalisatie

Beal's Generalization Conjecture, of de Beal Conjecture, gesteld door investeerder Andrew Beal, vraagt waarom er altijd gemeenschappelijke factoren zijn (zoals cellen in batterijen) in vergelijkingen zoals deze, van de algemene vorm aˣ+bʸ=cᶻ.

Meer lezen

Aczel, Amir (30 september 1996). De laatste stelling van Fermat: ontsluiting van het geheim van een oud wiskundig probleem. Four Walls Eight Windows. ISBN 978-1-568-58077-7.
Friberg, Joran (2007). Verbazingwekkende sporen van een Babylonische oorsprong in de Griekse wiskunde. Uitgeverij World Scientific. ISBN 978-9812704528.
Kleiner I (2000). "Van Fermat tot Wiles: De laatste stelling van Fermat wordt een stelling" (PDF). Elem. Math. 55: 19-37. doi:10.1007/PL00000079. S2CID 53319514. Gearchiveerd van het origineel (PDF) op 2012-02-19. Retrieved 2011-08-17.
Mordell L.J (1921). Drie lezingen over de laatste stelling van Fermat. Cambridge: Cambridge University Press.
Panchishkin, Alekseĭ Alekseevich (2007). Inleiding tot de moderne getaltheorie (Encyclopedia of Mathematical Sciences. Springer Berlin Heidelberg New York. ISBN 978-3-540-20364-3.
Ribenboim P (2000). De laatste stelling van Fermat voor amateurs. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387985084.
Singh, Simon (oktober 1998). Fermat's Enigma. New York: Anchor Books. ISBN 978-0-385-49362-8.

Vragen en antwoorden

V: Wat is de laatste stelling van Fermat?

A: De laatste stelling van Fermat (FLT) stelt dat als n een geheel getal groter dan 2 is, de vergelijking x^n + y^n = z^n geen oplossingen heeft als x, y en z natuurlijke getallen zijn. Met andere woorden, het is onmogelijk om in gehele getallen twee kubussen uit te drukken die opgeteld gelijk zijn aan een derde kubus of iets hogers dan vierkanten.

V: Wanneer werd FLT geschreven?

A: Pierre de Fermat schreef over FLT in 1637 in zijn exemplaar van een boek genaamd Arithmetica.

V: Wat zei Fermat over de stelling?

A: Hij zei "Ik heb een bewijs van deze stelling, maar er is niet genoeg ruimte in deze marge".

V: Hoe lang duurde het voordat FLT werd bewezen?

A: Het heeft 357 jaar geduurd voordat FLT correct werd bewezen; dat gebeurde uiteindelijk in 1995.

V: Denken wiskundigen dat Fermat een echt bewijs had voor de stelling?

A: De meeste wiskundigen denken niet dat Fermat daadwerkelijk een margebewijs van deze stelling had.

V: Wat staat er in het oorspronkelijke probleem?

A: Het oorspronkelijke probleem stelt dat het onmogelijk is cubum autem (een kubus) te verdelen in twee kubussen of quadratoquadratum (een vierkant-vierkant) in twee vierkanten en dat in het algemeen niets buiten vierkanten kan worden verdeeld in twee van dezelfde naam, waarbij het bewijs opmerkelijk is maar toch te groot voor de marge.