Bijectie

In de wiskunde is een bijectieve functie of bijectie een functie f : A → B die zowel een injectie als een surjectie is. Dit betekent: voor elk element b in de codomein B is er precies één element a in het domein A zo dat f(a)=b. Een andere naam voor bijectie is 1-1 correspondentie.

De term bijectie en de verwante termen surjectie en injectie werden geïntroduceerd door Nicholas Bourbaki. In de jaren 1930 publiceerde hij met een groep andere wiskundigen een reeks boeken over moderne geavanceerde wiskunde.

Basiseigenschappen

Formeel:

f : A → B {Stijl f:Arechtstreeks B} $f:A\rightarrow B$ ∀ b ∈ B {Stijl a voor alle b in B} $\forall b\in B$ er een unieke a ∈ A {Stijl a in A} is zodanig dat $a\in A$ f ( a ) = b . f(a)=b. } $f(a)=b\,.$

Het element b {afbeelding b} $b$ wordt de afbeelding van het element a {afbeelding a} genoemd.

De formele definitie betekent: Elk element van het codomein B is het beeld van precies één element in het domein A.

Het element a {{\displaystyle a} wordt een voorbeeld van het element b {\displaystyle b} $b$ genoemd.

De formele definitie betekent: Elk element van de codomein B heeft precies één voorbeeld in het domein A.

Opmerking: Surjectie betekent minimaal één preimage. Injectie betekent maximaal één voorbeeld. Dus bijectie betekent precies één pre-beeld.

Kardinaliteit

Kardinaliteit is het aantal elementen in een verzameling. De kardinaliteit van A={X,Y,Z,W} is 4. We schrijven #A=4.

Definitie: Twee verzamelingen A en B hebben dezelfde kardinaliteit als er een bijectie is tussen de verzamelingen. Dus #A=#B betekent dat er een bijectie is van A naar B.

Bijecties en inverse functies

Bijecties zijn inverteerbaar door de pijlen om te keren. De nieuwe functie heet de inverse functie.

Formeel: Zij f : A → B een bijectie. De inverse functie g : B → A wordt gedefinieerd door als f(a)=b, dan g(b)=a. (Zie ook Inverse functie.)

De inverse functie van de inverse functie is de oorspronkelijke functie.
Een functie heeft een inverse functie als en slechts als zij een bijectie is.

Opmerking: De notatie voor de inverse functie van f is verwarrend. Namelijk,

f - 1 ( x ) {\displaystyle f^{-1}(x)} $f^{-1}(x)$ functie f aan, maar x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$ geeft de reciproke waarde van het getal x aan.

Voorbeelden

Elementaire functies

Zij f(x):ℝ→ℝ een reële functie y=f(x) van een reëel-gewaardeerd argument x. (Dit betekent dat zowel de invoer als de uitvoer getallen zijn).

Grafische betekenis: De functie f is een bijectie als elke horizontale lijn de grafiek van f in precies één punt snijdt.
Algebraïsche betekenis: De functie f is een bijectie als we voor elk reëel getal _yo minstens één reëel getal xo kunnen vinden zodanig dat _yo=f(xo) en als f(xo)=f(x1) betekent xo=x1 .

Bewijzen dat een functie een bijectie is, betekent bewijzen dat ze zowel een surjectie als een injectie is. Formele bewijzen zijn dus zelden eenvoudig. Hieronder bespreken we en bewijzen we niet. (Zie surjectie en injectie.)

Voorbeeld: De lineaire functie van een schuine lijn is een bijectie. Dat wil zeggen, y=ax+b waarbij a≠0 een bijectie is.

Bespreking: Elke horizontale lijn snijdt een schuine lijn in precies één punt (zie surjectie en injectie voor bewijzen). Afbeelding 1.

Voorbeeld: De polynoomfunctie van de derde graad: f(x)=x3 is een bijectie. Afbeelding 2 en afbeelding 5 dunne gele kromme. De inverse is de derdemachtsfunctie f(x)= ∛x en het is ook een bijectie f(x):ℝ→ℝ. Afbeelding 5: dikke groene kromme.

Voorbeeld: De kwadratische functie f(x) = x2 is geen bijectie (van ℝ→ℝ). Afbeelding 3. Het is geen surjectie. Het is geen injectie. We kunnen echter zowel zijn domein als codomein beperken tot de verzameling niet-negatieve getallen (0,+∞) om een (inverteerbare) bijectie te krijgen (zie voorbeelden hieronder).

Opmerking: Dit laatste voorbeeld toont dit aan. Om te bepalen of een functie een bijectie is, moeten we drie dingen weten:

het domein
de functiemachine
het codomein

Voorbeeld: Stel dat onze functiemachine f(x)=x² is.

Deze machine en domain=ℝ en codomain=ℝ is geen surjectie en geen injectie. Echter,
deze zelfde machine en domein=[0,+∞) en codomain=[0,+∞) is zowel een surjectie als een injectie en dus een bijectie.

Bijecties en hun inverses

Zij f(x):A→B waarbij A en B deelverzamelingen van ℝ zijn.

Veronderstel dat f geen bijectie is. Voor elke x waar de afgeleide van f bestaat en niet nul is, is er een buurt van x waar we het domein en codomein van f kunnen beperken tot een bissectrice.
De grafieken van inverse functies zijn symmetrisch ten opzichte van de rechte y=x. (Zie ook Inverse functie).

Voorbeeld: De kwadratische functie gedefinieerd op het beperkte domein en codomein [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) f(x):[0,+ ∞ ) gedefinieerd door $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ f ( x ) = x 2 {{{2}} $f(x)=x^{2}$

is een bijectie. Afbeelding 6: dunne gele kromme.

Voorbeeld: De vierkantswortel functie gedefinieerd op het beperkte domein en codomein [0,+∞)

f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) f(x):[0 , + ∞ ) gedefinieerd door $f(x):[0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,[0,+\infty )$ f ( x ) = x {{{{{{}}}} $f(x)={\sqrt {x}}$

is de bijectie gedefinieerd als de inverse functie van de kwadratische functie: x2. Afbeelding 6: dikke groene kromme.

Voorbeeld: De exponentiële functie gedefinieerd op het domein ℝ en het begrensde codomein (0,+∞)

f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {Stijl f(x):\mathbf {R} \,\,\,\,\,(0,+ ∞ )} gedefinieerd door $f(x):\mathbf {R} \,\,\rightarrow \,\,(0,+\infty )$ f ( x ) = a x , a > 1 {Stijl f(x)=a^{x} ,,\,\,a>1} $f(x)=a^{x}\,,\,\,a>1$

is een bijectie. Afbeelding 4: dunne gele kromme (a=10).

Voorbeeld: De logaritmische functie basis a gedefinieerd op het beperkte domein (0,+∞) en het codomein ℝ

f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+ ∞ )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R}} gedefinieerd door $f(x):(0,+\infty )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R}$ f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=log _{a}x ,,\,\,a>1} $f(x)=\log _{a}x\,,\,\,a>1$

is de bijectie gedefinieerd als de inverse functie van de exponentiële functie: ^ax. Afbeelding 4: dikke groene curve (a=10).

Bijectie: elke verticale lijn (in het domein) en elke horizontale lijn (in het codomein) snijdt precies één punt van de grafiek.

1. Bijectie. Alle schuine lijnen zijn bijecties f(x):ℝ→ℝ.

2. Bijectie. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³.

3. Niet een bijectie. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² is geen surjectie. Het is geen injectie.

4. Bijecties. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (dun geel) en zijn inverse f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (dik groen).

5. Bijecties. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (dun geel) en zijn inverse f(x)=∛x (dik groen).

6. Bijecties. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (dun geel) en zijn inverse f(x)=√x (dik groen).

Verwante pagina's

Vragen en antwoorden

V: Wat is een bijectieve functie?

A: Een bijectieve functie, ook wel bijectie genoemd, is een wiskundige functie die zowel een injectie als een surjectie is.

Vraag: Wat betekent het dat een functie een injectie is?

Antwoord: Een injectie betekent dat voor twee willekeurige elementen a en a' in het domein A, als f(a)=f(a'), dan a=a'.

Vraag: Wat betekent het voor een functie om een surjectie te zijn?

Antwoord: Een surjectie betekent dat voor elk element b in het codomain B, er minstens één element a in het domein A is zodat f(a)=b.

Vraag: Wat is de equivalente verklaring voor een bijectie?

Antwoord: De equivalente verklaring voor een bijectie is dat voor elk element b in het codomain B, er precies één element a in het domein A is zodanig dat f(a)=b.

Vraag: Wat is een andere naam voor bijectie?

A: Bijectie staat ook bekend als "1-1 correspondentie" of "één-op-één correspondentie".

Vraag: Wie introduceerde de termen bijectie, surjectie en injectie?

A: De termen bijectie, surjectie en injectie werden geïntroduceerd door Nicolas Bourbaki en een groep andere wiskundigen in de jaren 1930.

V: Wat publiceerden Bourbaki en andere wiskundigen in de jaren 1930?

A: Bourbaki en andere wiskundigen publiceerden een reeks boeken over moderne geavanceerde wiskunde.