Elementaire functies
Zij f(x):ℝ→ℝ een reële functie y=f(x) van een reëel-gewaardeerd argument x. (Dit betekent dat zowel de invoer als de uitvoer getallen zijn).
- Grafische betekenis: De functie f is een bijectie als elke horizontale lijn de grafiek van f in precies één punt snijdt.
- Algebraïsche betekenis: De functie f is een bijectie als we voor elk reëel getal yo minstens één reëel getal xo kunnen vinden zodanig dat yo=f(xo) en als f(xo)=f(x1) betekent xo=x1 .
Bewijzen dat een functie een bijectie is, betekent bewijzen dat ze zowel een surjectie als een injectie is. Formele bewijzen zijn dus zelden eenvoudig. Hieronder bespreken we en bewijzen we niet. (Zie surjectie en injectie.)
Voorbeeld: De lineaire functie van een schuine lijn is een bijectie. Dat wil zeggen, y=ax+b waarbij a≠0 een bijectie is.
Bespreking: Elke horizontale lijn snijdt een schuine lijn in precies één punt (zie surjectie en injectie voor bewijzen). Afbeelding 1.
Voorbeeld: De polynoomfunctie van de derde graad: f(x)=x3 is een bijectie. Afbeelding 2 en afbeelding 5 dunne gele kromme. De inverse is de derdemachtsfunctie f(x)= ∛x en het is ook een bijectie f(x):ℝ→ℝ. Afbeelding 5: dikke groene kromme.
Voorbeeld: De kwadratische functie f(x) = x2 is geen bijectie (van ℝ→ℝ). Afbeelding 3. Het is geen surjectie. Het is geen injectie. We kunnen echter zowel zijn domein als codomein beperken tot de verzameling niet-negatieve getallen (0,+∞) om een (inverteerbare) bijectie te krijgen (zie voorbeelden hieronder).
Opmerking: Dit laatste voorbeeld toont dit aan. Om te bepalen of een functie een bijectie is, moeten we drie dingen weten:
- het domein
- de functiemachine
- het codomein
Voorbeeld: Stel dat onze functiemachine f(x)=x² is.
- Deze machine en domain=ℝ en codomain=ℝ is geen surjectie en geen injectie. Echter,
- deze zelfde machine en domein=[0,+∞) en codomain=[0,+∞) is zowel een surjectie als een injectie en dus een bijectie.
Bijecties en hun inverses
Zij f(x):A→B waarbij A en B deelverzamelingen van ℝ zijn.
- Veronderstel dat f geen bijectie is. Voor elke x waar de afgeleide van f bestaat en niet nul is, is er een buurt van x waar we het domein en codomein van f kunnen beperken tot een bissectrice.
- De grafieken van inverse functies zijn symmetrisch ten opzichte van de rechte y=x. (Zie ook Inverse functie).
Voorbeeld: De kwadratische functie gedefinieerd op het beperkte domein en codomein [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) f(x):[0,+ ∞ ) gedefinieerd door
f ( x ) = x 2 {{{2}} 
is een bijectie. Afbeelding 6: dunne gele kromme.
Voorbeeld: De vierkantswortel functie gedefinieerd op het beperkte domein en codomein [0,+∞)
f ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → [ 0 , + ∞ ) f(x):[0 , + ∞ ) gedefinieerd door f ( x ) = x {{{{{{}}}} 
is de bijectie gedefinieerd als de inverse functie van de kwadratische functie: x2. Afbeelding 6: dikke groene kromme.
f ( x ) : R → ( 0 , + ∞ ) {Stijl f(x):\mathbf {R} \,\,\,\,\,(0,+ ∞ )} gedefinieerd door 
f ( x ) = a x , a > 1 {Stijl f(x)=a^{x} ,,\,\,a>1} 
is een bijectie. Afbeelding 4: dunne gele kromme (a=10).
Voorbeeld: De logaritmische functie basis a gedefinieerd op het beperkte domein (0,+∞) en het codomein ℝ
f ( x ) : ( 0 , + ∞ ) → R {\displaystyle f(x):(0,+ ∞ )\,\,\rightarrow \,\,\mathbf {R}} gedefinieerd door 
f ( x ) = log a x , a > 1 {\displaystyle f(x)=log _{a}x ,,\,\,a>1} 
is de bijectie gedefinieerd als de inverse functie van de exponentiële functie: ax. Afbeelding 4: dikke groene curve (a=10).
| Bijectie: elke verticale lijn (in het domein) en elke horizontale lijn (in het codomein) snijdt precies één punt van de grafiek. |
| 
1. Bijectie. Alle schuine lijnen zijn bijecties f(x):ℝ→ℝ. | 
2. Bijectie. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³. | 
3. Niet een bijectie. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x² is geen surjectie. Het is geen injectie. |
| 
4. Bijecties. f(x):ℝ→ (0,+∞). f(x)=10x (dun geel) en zijn inverse f(x):(0,+∞)→ℝ. f(x)=log10x (dik groen). | 
5. Bijecties. f(x):ℝ→ℝ. f(x)=x³ (dun geel) en zijn inverse f(x)=∛x (dik groen). | 
6. Bijecties. f(x):[0,+∞)→[0,+∞). f(x)=x² (dun geel) en zijn inverse f(x)=√x (dik groen). |
