Surjectie

In de wiskunde is een surjectieve of onto functie een functie f : A → B met de volgende eigenschap. Voor elk element b in de codomein B is er minstens één element a in het domein A zo dat f(a)=b. Dit betekent dat het bereik en het codomein van f dezelfde verzameling zijn.

De term surjectie en de verwante termen injectie en bijectie werden geïntroduceerd door de groep wiskundigen die zich Nicholas Bourbaki noemde. In de jaren 1930 publiceerde deze groep wiskundigen een reeks boeken over moderne geavanceerde wiskunde. Het Franse voorvoegsel sur betekent boven of op en werd gekozen omdat een surjectieve functie haar domein overbrengt op haar codomein.

Basiseigenschappen

Formeel:

f : A → B {{{Displaystyle f:A}} $f:A\rightarrow B$ is een surjectieve functie als ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A {{Displaystyle \vooral b in B,\,\bestaat a in A} $\forall b\in B\,\,\exists a\in A$ zo dat f ( a ) = b . {Stijl f(a)=b } $f(a)=b\,.$

Het element b {afbeelding b} $b$ wordt de afbeelding van het element a {afbeelding a} genoemd.

De formele definitie betekent: Elk element van het codomein B is het beeld van minstens één element in het domein A.

Het element a {{\displaystyle a} wordt een voorbeeld van het element b {\displaystyle b} $b$ genoemd.

De formele definitie betekent: Elk element van de codomein B heeft minstens één voorbeeld in het domein A.

Een voorbeeld hoeft niet uniek te zijn. In het bovenste plaatje zijn zowel {X} als {Y} voorbeelden van het element {1}. Het is alleen belangrijk dat er minstens één voorbeeld is. (Zie ook: Injectieve functie, Bijectieve functie)

Voorbeelden

Elementaire functies

Zij f(x):ℝ→ℝ een reële functie y=f(x) van een reëel-gewaardeerd argument x. (Dit betekent dat zowel de invoer als de uitvoer getallen zijn).

Grafische betekenis: De functie f is een surjectie als elke horizontale lijn de grafiek van f in ten minste één punt snijdt.
Analytische betekenis: De functie f is een surjectie als we voor elk reeel getal _yo minstens één reeel getal xo kunnen vinden zo dat _yo=f(xo).

Het vinden van een voorbeeld xo voor een gegeven _yo is gelijkwaardig aan beide vragen:

Heeft de vergelijking f(x)-yo=0 een oplossing? of
Heeft de functie f(x)-yo een wortel?

In de wiskunde kunnen we alleen exacte (analytische) wortels vinden van veeltermen van de eerste, tweede (en derde) graad. Wortels van alle andere functies vinden we bij benadering (numeriek). Dit betekent dat een formeel bewijs van surjectiviteit zelden direct is. De besprekingen hieronder zijn dus informeel.

Voorbeeld: De lineaire functie van een schuine lijn is onto. Dat wil zeggen, y=ax+b waarbij a≠0 een surjectie is. (Het is ook een injectie en dus een bijectie).

Bewijs: Substitueer _yo in de functie en los op voor x. Daar a≠0 krijgen we x= (_yo-b)/a. Dit betekent dat xo=(_yo-b)/a een voorbeeld is van _yo. Dit bewijst dat de functie y=ax+b waarbij a≠0 een surjectie is. (Omdat er precies één voorbeeld is, is deze functie ook een injectie).

Praktisch voorbeeld: y= -2x+4. Wat is het voorbeeld van y=2? Oplossing: Hier is a= -2, d.w.z. a≠0 en de vraag is: Voor welke x is y=2? We substitueren y=2 in de functie. We krijgen x=1, d.w.z. y(1)=2. Het antwoord is dus: x=1 is het voorbeeld van y=2.

Voorbeeld: De kubische polynoom (van de derde graad) f(x)=x3-3x is een surjectie.

Bespreking: De kubische vergelijking x3-3x-yo=0 heeft reele coëfficiënten (a3=1, a2=0, a1=-3, a0=-yo). Elke zo'n kubische vergelijking heeft minstens één reele wortel. Daar het domein van de veelterm ℝ is, betekent dit dat er minstens één voorbeeld xo in het domein is. Dat wil zeggen, (x0)^3-3x0-yo=0. De functie is dus een surjectie. (Deze functie is echter geen injectie. Bijvoorbeeld, _yo=2 heeft 2 voorbeelden: x=-1 en x=2. In feite heeft elke y, -2≤y≤2 ten minste 2 voorbeelden).

Voorbeeld: De kwadratische functie f(x) = x2 is geen surjectie. Er is geen x zo dat x2 = -1. Het bereik van x² is [0,+∞) , dat is de verzameling van niet-negatieve getallen. (Ook deze functie is geen injectie).

Opmerking: Men kan van een niet-surjectieve functie een surjectieve maken door haar codomein te beperken tot elementen van haar bereik. Bijvoorbeeld, de nieuwe functie, fN(x):ℝ → [0,+∞) waar fN(x) = x2 is een surjectieve functie. (Dit is niet hetzelfde als de beperking van een functie die het domein beperkt!)

Voorbeeld: De exponentiële functie f(x) = ^10x is geen surjectie. Het bereik van ^10x is (0,+∞), dat is de verzameling van positieve getallen. (Deze functie is een injectie.)

Surjectie. f(x):ℝ→ℝ (en injectie)

Surjectie. f(x):ℝ→ℝ (geen injectie)

Geen surjectie. f(x):ℝ→ℝ (noch een injectie)

Geen surjectie. f(x):ℝ→ℝ (maar is een injectie)

Surjectie. f(x):(0,+∞)→ℝ (en injectie)

Surjectie. z:ℝ²→ℝ, z=y. (In het plaatje is te zien dat het voorbeeld van z=2 de lijn y=2 is).

Andere voorbeelden met functies van reële waarde

Voorbeeld: De logaritmische functie basis 10 f(x):(0,+∞)→ℝ gedefinieerd door f(x)=log(x) of y=log10(x) is een surjectie (en een injectie). (Dit is de inverse functie van ^10x.)

De projectie van een cartesisch product A × B op een van zijn factoren is een surjectie.

Voorbeeld: De functie f((x,y)):ℝ²→ℝ gedefinieerd door z=y is een surjectie. De grafiek is een vlak in de driedimensionale ruimte. Het voorbeeld van _zo is de rechte y=zo in het x0y-vlak.

In 3D-spellen wordt de 3-dimensionale ruimte geprojecteerd op een 2-dimensionaal scherm met een surjectie.

Verwante pagina's

Vragen en antwoorden

V: Wat is een surjectieve functie in de wiskunde?

A: Een surjectieve functie in de wiskunde is een functie f: A → B met de eigenschap dat voor elk element b in het codomain B, er minstens één element a in het domein A is zodat f(a)=b.

V: Wat is de betekenis van een surjectieve functie in de wiskunde?

A: Een surjectieve functie zorgt ervoor dat geen enkel element in het codomain unmapped is en dat het bereik en het codomain van f dezelfde verzameling zijn.

V: Wat is de oorsprong van de term surjectie?

A: De term surjectie werd geïntroduceerd door de groep wiskundigen genaamd Nicholas Bourbaki.

V: Wat is de betekenis van het Franse voorvoegsel sur in surjectief?

A: Het Franse voorvoegsel sur betekent boven of op.

V: Waarom werd de term surjectief gekozen voor dit soort functie?

A: De term surjectief werd gekozen voor dit soort functie omdat een surjectieve functie zijn domein op zijn codomain overbrengt.

V: Wie publiceerde een serie boeken over moderne geavanceerde wiskunde in de jaren 1930?

A: De groep wiskundigen genaamd Nicholas Bourbaki publiceerde een serie boeken over moderne geavanceerde wiskunde in de jaren 1930.

V: Wat zijn injectie en bijectie in de wiskunde?

A: Injectie en bijectie zijn verwante termen met surjectie in de wiskunde. Een injectiefunctie zorgt ervoor dat geen twee elementen in het domein naar hetzelfde element in het codomein leiden. Een bijectiefunctie is zowel surjectief als injectief.