Injectie (wiskunde)

Formeel:

f : A → B {{:A rechtarrow B}}is een injectieve functie als ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , a 1 ≠ a 2 ⇒ f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},, a_{2} , in A , a_{1} , neq a_{2} , rechtspijl , f(a_{1}), neq f(a_{2})} of equivalenten

f : A → B {{:Arightarrow B}}is een injectieve functie als ∀ a 1 , a 2 , ∈ A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) ⇒ a 1 = a 2 {{1},\,a_{2},\in A,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,a_{1}=a_{2}}

Het element a {{Displaystyle a}}heet een voorbeeld van het element b {{Displaystyle b}} als f ( a ) = b {{Displaystyle f(a)=b}} elk element b in B.

Kardinaliteit is het aantal elementen in een verzameling. De kardinaliteit van A={X,Y,Z,W} is 4. We schrijven #A=4.

• Als de kardinaliteit van het codomein kleiner is dan de kardinaliteit van het domein, kan de functie geen injectie zijn. (Er is bijvoorbeeld geen manier om 6 elementen naar 5 elementen te leiden zonder een duplicaat).

Elementaire functies

Zij f(x):ℝ→ℝ een reële functie y=f(x) van een reëel-getal-argument x. (Dit betekent dat zowel de invoer als de uitvoer reële getallen zijn).

• Grafische betekenis: De functie f is een injectie als elke horizontale lijn de grafiek van f in ten hoogste één punt snijdt.
• Algebraïsche betekenis: De functie f is een injectie als f(xo)=f(x1) betekent dat xo=x1.

Voorbeeld: De lineaire functie van een schuine lijn is 1-1. Dat is, y=ax+b waar a≠0 een injectie is. (Het is ook een surjectie en dus een bijectie).

Bewijs: Laten xo en x1 reële getallen zijn. Stel dat de rechte deze twee x-waarden op dezelfde y-waarde brengt. Dit betekent a-xo+b=a-x1+b. Trek b van beide zijden af. We krijgen a-xo=a-x1. Deel nu beide zijden door a (onthoud a≠0). We krijgen xo=x1. We hebben dus de formele definitie bewezen en de functie y=ax+b waarbij a≠0 een injectie is.

Voorbeeld: De polynoomfunctie van de derde graad: f(x)=x3 is een injectie. Echter, de veeltermfunctie van de derde graad: f(x)=x3 -3x is geen injectie.

Discussie 1: Elke horizontale lijn snijdt de grafiek van

f(x)=x3 precies één keer. (Het is ook een surjectie.)

Discussie 2. Elke horizontale lijn tussen y=-2 en y=2 snijdt de grafiek in drie punten, dus deze functie is geen injectie. (Het is echter wel een surjectie).

Voorbeeld: De kwadratische functie f(x) = x2 is geen injectie.

Discussie: Elke horizontale lijn y=c waarbij c>0 snijdt de grafiek in twee punten. Deze functie is dus geen injectie. (Het is ook geen surjectie.)

Opmerking: Men kan van een niet-injectieve functie een injectieve functie maken door een deel van het domein weg te laten. We noemen dit het domein beperken. Bijvoorbeeld, beperk het domein van f(x)=x² tot niet-negatieve getallen (positieve getallen en nul). Definieer

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {weergave f_{/[0,+ ∞ )}(x):[0,+ ∞ )} waarinf / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {Displaystyle f_{/[0,+infty )}(x)=x^{2}}

Deze functie is nu een injectie. (Zie ook beperking van een functie).

Voorbeeld: De exponentiële functie f(x) = ^10x is een injectie. (Het is echter geen surjectie.)

Discussie: Elke horizontale lijn snijdt de grafiek in hoogstens één punt. De horizontale lijnen y=c waar c>0 snijden de grafiek in precies één punt. De horizontale lijnen y=c waar c≤0 snijden de grafiek in geen enkel punt.

Opmerking: Het feit dat een exponentiële functie injectief is, kan in berekeningen worden gebruikt.

a x 0 = a x 1 ⇒ x 0 = x 1 , a > 0 {Stijl a^{x_{0}}=a^{x_{1}},\,ijlrechts,\,x_{0}=x_{1},\,a>0} 

Voorbeeld: 100 = 10 x - 3 ⇒ 2 = x - 3 ⇒ x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3},\,\Rightarrow \,2=x-3,\,\,\Rightarrow \,\,x=5}  

Andere voorbeelden

Voorbeeld: De logaritmische functie basis 10 f(x):(0,+∞)→ℝ gedefinieerd door f(x)=log(x) of y=log10(x) is een injectie (en een surjectie). (Dit is de inverse functie van ^10x.)

Voorbeeld: De functie f:ℕ→ℕ die elk natuurlijk getal n overvoert in 2n is een injectie. Elk even getal heeft precies één voorbeeld. Elk oneven getal heeft geen voorbeeld.

• Functie (wiskunde)
• Surjectieve functie
• Bijectieve functie