Injectie (wiskunde)

In de wiskunde is een injectieve functie een functie f : AB met de volgende eigenschap. Voor elk element b in de codomein B is er maximum één element a in het domein A zo dat f(a)=b.

De term injectie en de verwante termen surjectie en bijectie werden geïntroduceerd door Nicholas Bourbaki. In de jaren 1930 publiceerde hij met een groep andere wiskundigen een reeks boeken over moderne geavanceerde wiskunde.

Een injectieve functie wordt vaak een 1-1 functie genoemd. Een 1-1 correspondentie is echter een bijectieve functie (zowel injectief als surjectief). Dit is verwarrend, dus wees voorzichtig.

Basiseigenschappen

Formeel:

f : A → B {{:A rechtarrow B}}{\displaystyle f:A\rightarrow B}is een injectieve functie als a 1 , a 2 , A , a 1 ≠ a 2 f ( a 1 ) ≠ f ( a 2 ) {\displaystyle \forall a_{1},, a_{2} , in A , a_{1} , neq a_{2} , rechtspijl , f(a_{1}), neq f(a_{2})} {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,a_{1}\neq a_{2}\,\,\Rightarrow \,\,f(a_{1})\neq f(a_{2})}of equivalenten

f : A → B {{:Arightarrow B}}{\displaystyle f:A\rightarrow B}is een injectieve functie als a 1 , a 2 , A , f ( a 1 ) = f ( a 2 ) a 1 = a 2 {{1},\,a_{2},\in A,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,a_{1}=a_{2}} {\displaystyle \forall a_{1},\,a_{2},\in A,\,\,\,\,f(a_{1})=f(a_{2})\,\,\Rightarrow \,\,a_{1}=a_{2}}

Het element a {{Displaystyle a}}aheet een voorbeeld van het element b {{Displaystyle b}} als {\displaystyle b}f ( a ) = b {{Displaystyle f(a)=b}} {\displaystyle f(a)=b}elk element b in B.

Kardinaliteit

Kardinaliteit is het aantal elementen in een verzameling. De kardinaliteit van A={X,Y,Z,W} is 4. We schrijven #A=4.

  • Als de kardinaliteit van het codomein kleiner is dan de kardinaliteit van het domein, kan de functie geen injectie zijn. (Er is bijvoorbeeld geen manier om 6 elementen naar 5 elementen te leiden zonder een duplicaat).

Voorbeelden

Elementaire functies

Zij f(x):ℝ→ℝ een reële functie y=f(x) van een reëel-getal-argument x. (Dit betekent dat zowel de invoer als de uitvoer reële getallen zijn).

  • Grafische betekenis: De functie f is een injectie als elke horizontale lijn de grafiek van f in ten hoogste één punt snijdt.
  • Algebraïsche betekenis: De functie f is een injectie als f(xo)=f(x1) betekent dat xo=x1.

Voorbeeld: De lineaire functie van een schuine lijn is 1-1. Dat is, y=ax+b waar a≠0 een injectie is. (Het is ook een surjectie en dus een bijectie).

Bewijs: Laten xo en x1 reële getallen zijn. Stel dat de rechte deze twee x-waarden op dezelfde y-waarde brengt. Dit betekent a-xo+b=a-x1+b. Trek b van beide zijden af. We krijgen a-xo=a-x1. Deel nu beide zijden door a (onthoud a≠0). We krijgen xo=x1. We hebben dus de formele definitie bewezen en de functie y=ax+b waarbij a≠0 een injectie is.

Voorbeeld: De polynoomfunctie van de derde graad: f(x)=x3 is een injectie. Echter, de veeltermfunctie van de derde graad: f(x)=x3 -3x is geen injectie.

Discussie 1: Elke horizontale lijn snijdt de grafiek van

f(x)=x3 precies één keer. (Het is ook een surjectie.)

Discussie 2. Elke horizontale lijn tussen y=-2 en y=2 snijdt de grafiek in drie punten, dus deze functie is geen injectie. (Het is echter wel een surjectie).

Voorbeeld: De kwadratische functie f(x) = x2 is geen injectie.

Discussie: Elke horizontale lijn y=c waarbij c>0 snijdt de grafiek in twee punten. Deze functie is dus geen injectie. (Het is ook geen surjectie.)

Opmerking: Men kan van een niet-injectieve functie een injectieve functie maken door een deel van het domein weg te laten. We noemen dit het domein beperken. Bijvoorbeeld, beperk het domein van f(x)=x² tot niet-negatieve getallen (positieve getallen en nul). Definieer

f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) : [ 0 , + ∞ ) → R {weergave f_{/[0,+ ∞ )}(x):[0,+ ∞ )} waarin{\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x):[0,+\infty )\rightarrow \mathbf {R} }f / [ 0 , + ∞ ) ( x ) = x 2 {Displaystyle f_{/[0,+infty )}(x)=x^{2}} {\displaystyle f_{/[0,+\infty )}(x)=x^{2}}

Deze functie is nu een injectie. (Zie ook beperking van een functie).

Voorbeeld: De exponentiële functie f(x) = 10x is een injectie. (Het is echter geen surjectie.)

Discussie: Elke horizontale lijn snijdt de grafiek in hoogstens één punt. De horizontale lijnen y=c waar c>0 snijden de grafiek in precies één punt. De horizontale lijnen y=c waar c≤0 snijden de grafiek in geen enkel punt.

Opmerking: Het feit dat een exponentiële functie injectief is, kan in berekeningen worden gebruikt.

a x 0 = a x 1 x 0 = x 1 , a > 0 {Stijl a^{x_{0}}=a^{x_{1}},\,ijlrechts,\,x_{0}=x_{1},\,a>0}  {\displaystyle a^{x_{0}}=a^{x_{1}}\,\,\Rightarrow \,\,x_{0}=x_{1},\,a>0}

Voorbeeld: 100 = 10 x - 3 2 = x - 3 x = 5 {\displaystyle 100=10^{x-3},\,\Rightarrow \,2=x-3,\,\,\Rightarrow \,\,x=5}  {\displaystyle 100=10^{x-3}\,\,\Rightarrow \,\,2=x-3\,\,\Rightarrow \,\,x=5}

Injectie: geen enkele horizontale lijn snijdt meer dan één punt van de grafiek


Injectie. f(x):ℝ→ℝ (en surjectie)


Injectie. f(x):ℝ→ℝ (en surjectie)


Geen injectie. f(x):ℝ→ℝ (is surjectie)


Geen injectie. f(x):ℝ→ℝ (geen surjectie)


Injectie. f(x):ℝ→ℝ (geen surjectie)


Injectie. f(x):(0,+∞)→ℝ (en surjectie)

Andere voorbeelden

Voorbeeld: De logaritmische functie basis 10 f(x):(0,+∞)→ℝ gedefinieerd door f(x)=log(x) of y=log10(x) is een injectie (en een surjectie). (Dit is de inverse functie van 10x.)

Voorbeeld: De functie f:ℕ→ℕ die elk natuurlijk getal n overvoert in 2n is een injectie. Elk even getal heeft precies één voorbeeld. Elk oneven getal heeft geen voorbeeld.

Verwante pagina's


AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3