Continuümhypothese
De continuüm-hypothese is de hypothese dat er geen verzameling is die zowel groter is dan die van de natuurlijke getallen als kleiner dan die van de reële getallen. Georg Cantor stelde deze hypothese in 1877.
Er zijn oneindig veel natuurlijke getallen, de kardinaliteit van de verzameling van natuurlijke getallen is oneindig. Dit geldt ook voor de verzameling van reële getallen, maar er zijn meer reële getallen dan natuurlijke getallen. We zeggen dat de natuurlijke getallen oneindig veel kardinaliteiten hebben en dat de reële getallen oneindig veel kardinaliteiten hebben, maar de kardinaliteit van de reële getallen is groter dan de kardinaliteit van de natuurlijke getallen.
Deze hypothese is het eerste probleem op de lijst van 23 problemen die David Hilbert in 1900 publiceerde. Kurt Gödel toonde in 1939 aan dat de hypothese niet gefalsifieerd kan worden met behulp van de Zermelo-Fraenkelverzamelingenleer. De Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer is de verzamelingenleer die algemeen in de wiskunde wordt gebruikt. Paul Cohen toonde in de jaren zestig aan dat de Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer ook niet gebruikt kan worden om de continuüm hypothese te bewijzen. Cohen werd hiervoor onderscheiden met de Fields Medal.
Vragen en antwoorden
V: Wat is de continuümhypothese?
A: De continuümhypothese is de hypothese dat er geen verzameling bestaat die zowel groter is dan die van de natuurlijke getallen als kleiner dan die van de reële getallen.
V: Wie stelde de continuümhypothese vast en wanneer?
A: Georg Cantor stelde de continuümhypothese in 1877.
V: Zijn er oneindig veel natuurlijke getallen?
A: Ja, er zijn oneindig veel natuurlijke getallen.
V: Wat is de kardinaliteit van de verzameling natuurlijke getallen?
A: De kardinaliteit van de verzameling natuurlijke getallen is oneindig.
V: Zijn er meer reële getallen dan natuurlijke getallen?
A: Ja, er zijn meer reële getallen dan natuurlijke getallen.
V: Kan de continuümhypothese worden gefalsificeerd met behulp van de Zermelo-Fraenkel-verzamelingstheorie?
A: Kurt Gödel toonde in 1939 aan dat de hypothese niet kan worden vervalst met behulp van de verzamelingenleer van Zermelo-Fraenkel.
V: Wie toonde aan dat de Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer niet kan worden gebruikt om de continuümhypothese te bewijzen?
A: Paul Cohen toonde in de jaren '60 aan dat de Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer niet kan worden gebruikt om de continuümhypothese te bewijzen.
