Algebraïsche variëteit
In de wiskunde zijn algebraïsche variëteiten (ook wel variëteiten genoemd) een van de centrale studieobjecten in de algebraïsche meetkunde. De eerste definitons van algebraïsche variëteiten definieerden het als de verzameling oplossingen van een stelsel van veeltermvergelijkingen, over de reële of complexe getallen. Moderne definities van een algebraïsche variëteit veralgemenen dit begrip terwijl ze proberen de geometrische intuïtie achter de oorspronkelijke definitie te behouden.
De verdragen met betrekking tot de definitie van een algebraïsch ras verschillen: Sommige auteurs eisen dat een "algebraïsch ras" per definitie onherleidbaar is (wat betekent dat het niet de vereniging is van twee kleinere sets die in de Zariski topologie gesloten zijn), terwijl andere dat niet doen. Wanneer de eerste conventie wordt gebruikt, worden niet-irreduceerbare algebraïsche variëteiten algebraïsche sets genoemd.
Het begrip "variëteit" is vergelijkbaar met dat van "spruitstuk". Een verschil tussen een variëteit en een spruitstuk is dat een variëteit enkele punten kan hebben, terwijl een spruitstuk dat niet heeft. De fundamentele stelling van algebra's, die rond 1800 is bewezen, legt een verband tussen algebra en meetkunde door aan te tonen dat een monische polynoom in één variabele met complexe coëfficiënten (een algebraïsch object) wordt bepaald door de verzameling van zijn wortels (een geometrisch object). Als generalisatie van dit resultaat levert Hilbert's Nullstellensatz een fundamentele overeenkomst op tussen idealen van veeltermenringen en algebraïsche verzamelingen. Met behulp van de Nullstellensatz en aanverwante resultaten hebben wiskundigen een sterke overeenkomst gevonden tussen vragen over algebraïsche verzamelingen en vragen over de ringtheorie. Deze overeenkomst is de specificiteit van de algebraïsche meetkunde tussen de andere deelgebieden van de meetkunde.
De gedraaide kubiek is een projectieve algebraïsche variant.
Vragen en antwoorden
V: Wat zijn algebraïsche variëteiten?
A: Algebraïsche variëteiten zijn een van de centrale studieobjecten in de algebraïsche meetkunde. Zij worden gedefinieerd als de verzameling oplossingen van een stelsel polynomiale vergelijkingen, over de reële of complexe getallen.
V: Waarin verschillen moderne definities van de oorspronkelijke definitie?
A: Moderne definities proberen de meetkundige intuïtie achter de oorspronkelijke definitie te behouden en deze tegelijkertijd te veralgemenen. Sommige auteurs vereisen dat een "algebraïsche variëteit" per definitie onherleidbaar is (wat betekent dat zij niet de unie is van twee kleinere verzamelingen die gesloten zijn in de Zariski-topologie), terwijl anderen dat niet doen.
V: Wat is een verschil tussen een variëteit en een manifold?
A: Een variëteit kan singuliere punten hebben, terwijl een manifold dat niet heeft.
V: Wat stelt de fundamentele stelling van de algebra vast?
A: De fundamentele stelling van de algebra legt een verband tussen algebra en meetkunde door aan te tonen dat een monische polynoom in één variabele met complexe coëfficiënten (een algebraïsch object) wordt bepaald door de verzameling van zijn wortels (een meetkundig object).
V: Wat levert de Nullstellensatz van Hilbert op?
A: De nulstelling van Hilbert geeft een fundamentele overeenkomst tussen idealen van polynomiale ringen en algebraïsche verzamelingen.
V: Hoe is deze correspondentie gebruikt door wiskundigen?
A: Wiskundigen hebben met behulp van deze correspondentie een sterke correspondentie tot stand gebracht tussen vragen over algebraïsche verzamelingen en vragen over ringtheorie.
V: Wat maakt dit specifieke gebied uniek onder andere deelgebieden binnen de meetkunde? A: Deze sterke correspondentie tussen vragen over algebraïsche verzamelingen en vragen over ringtheorie maakt dit specifieke gebied uniek onder andere deelgebieden binnen de meetkunde.
