Algebraïsche meetkunde

Algebraïsche meetkunde is een tak van de wiskunde die veeltermvergelijkingen bestudeert. De moderne algebraïsche meetkunde is gebaseerd op meer abstracte technieken van abstracte algebra, vooral commutatieve algebra, met de taal en de problemen van de meetkunde.

De belangrijkste studieobjecten in de algebraïsche meetkunde zijn algebraïsche variëteiten, die geometrische manifestaties zijn van verzamelingen oplossingen van stelsels van veeltermvergelijkingen. Voorbeelden van de meest bestudeerde klassen van algebraïsche variëteiten zijn: vlakke algebraïsche krommen, die lijnen, cirkels, parabolen, ellipsen, hyperbolen, kubieke krommen zoals elliptische krommen en kwart krommen zoals lemniscaten, en Cassini-ovalen. Een punt van het vlak hoort bij een algebraïsche kromme als de coördinaten ervan voldoen aan een gegeven veeltermvergelijking. De basisvragen hebben betrekking op de studie van de bijzondere punten zoals de singuliere punten, de buigpunten en de punten op oneindig. Bij meer geavanceerde vragen gaat het om de topologie van de kromme en de relaties tussen de krommen die door verschillende vergelijkingen worden gegeven.

Algebraïsche meetkunde neemt een centrale plaats in in de moderne wiskunde in. De concepten die zij gebruikt, verbinden haar met uiteenlopende gebieden als complexe analyse, topologie en getaltheorie. In het begin ging het bij algebraïsche meetkunde om het bestuderen van stelsels van veeltermvergelijkingen in verschillende variabelen. De algebraïsche meetkunde begint op het punt waar het oplossen van de vergelijkingen niet meer mogelijk is: In veel gevallen is het vinden van de eigenschappen die alle oplossingen van een bepaalde verzameling vergelijkingen hebben belangrijker dan het vinden van een bepaalde oplossing: dit leidt tot enkele van de diepste gebieden in alle wiskunde, zowel conceptueel als qua techniek.

In de 20e eeuw heeft de algebraïsche geometrie zich opgesplitst in verschillende deelgebieden.

  • De hoofdstroom van de algebraïsche meetkunde is gewijd aan de studie van de complexe punten van de algebraïsche variëteiten en meer in het algemeen aan de punten met coördinaten in een algebraïsch gesloten veld.
  • De studie van de punten van een algebraïsche variëteit met coördinaten in het veld van de rationele getallen of in een getallenveld werd rekenkundige meetkunde (of meer klassiek Diophantine meetkunde), een subveld van de algebraïsche getaltheorie.
  • De studie van de werkelijke punten van een algebraïsche variëteit is het onderwerp van echte algebraïsche geometrie.
  • Een groot deel van de singulariteitstheorie is gewijd aan de singulariteiten van algebraïsche variëteiten.
  • Toen computers steeds gebruikelijker werden, ontwikkelde zich een veld met de naam 'computeralgebraïsche geomerie'. Het kijkt naar het snijpunt van algebraïsche geometrie en computeralgebra. Het houdt zich bezig met de ontwikkeling van algoritmen en software voor het bestuderen en vinden van de eigenschappen van expliciet gegeven algebraïsche variëteiten.

Veel van de ontwikkeling van de hoofdstroom van de algebraïsche geometrie in de 20e eeuw vond plaats binnen een abstract algebraïsch kader, waarbij steeds meer nadruk werd gelegd op "intrinsieke" eigenschappen van algebraïsche variëteiten die niet afhankelijk zijn van een bepaalde manier van inbedding van de variëteit in een omgevingscoördinatenruimte. De ontwikkelingen in de topologie, differentiële en complexe geometrie deden zich grotendeels op dezelfde manier voor. Een belangrijke verwezenlijking van deze abstracte algebraïsche meetkunde is Grothendieck's schemertheorie die het mogelijk maakt om met behulp van de sheaf-theorie algebraïsche variëteiten te bestuderen op een manier die zeer vergelijkbaar is met het gebruik ervan in de studie van differentiële en analytische spruitstukken. Dit wordt verkregen door het begrip punt uit te breiden: In de klassieke algebraïsche meetkunde kan een punt van een affiene variëteit worden geïdentificeerd, door middel van Hilbert's Nullstellensatz, met een maximaal ideaal van de coördinatenring, terwijl de punten van het corresponderende affiene schema alle primaire idealen van deze ring zijn. Dit betekent dat een punt van zo'n schema zowel een gewoon punt als een subvariëteit kan zijn. Deze benadering maakt ook een vereniging mogelijk van de taal en de instrumenten van de klassieke algebraïsche meetkunde, die vooral betrekking heeft op complexe punten, en van de algebraïsche getaltheorie. Wiles' bewijs van de al lang bestaande stelling die Fermat's laatste stelling wordt genoemd, is een voorbeeld van de kracht van deze benadering.

Dit Togliatti oppervlak is een algebraïsch oppervlak van graad vijf. De foto stelt een deel van zijn echte locus voor...Zoom
Dit Togliatti oppervlak is een algebraïsch oppervlak van graad vijf. De foto stelt een deel van zijn echte locus voor...

Vragen en antwoorden

V: Wat is algebraïsche meetkunde?


A: Algebraïsche meetkunde is een tak van de wiskunde die veeltermvergelijkingen bestudeert.

V: Welke technieken worden gebruikt in de moderne algebraïsche meetkunde?


A: De moderne algebraïsche meetkunde gebruikt meer abstracte technieken uit de abstracte algebra, zoals de commutatieve algebra, om de taal en de problemen van de meetkunde aan te pakken.

V: Welk type vergelijkingen bestudeert de algebraïsche meetkunde?


A: Algebraïsche meetkunde bestudeert polynomiale vergelijkingen.

V: Hoe wordt abstracte algebra gebruikt?


A: Zij gebruikt abstracte algebra, met name commutatieve algebra, om de taal en de problemen van de meetkunde te begrijpen.

V: Wordt er op dit gebied een specifiek type taal gebruikt?


A: Ja, de moderne algebraïsche meetkunde gebruikt de taal en de problemen van de meetkunde.

V: Hoe heeft de moderne technologie dit vakgebied beïnvloed?


A: De moderne technologie heeft het mogelijk gemaakt meer geavanceerde technieken uit de abstracte algebra te gebruiken bij het bestuderen van polynomiale vergelijkingen op dit gebied.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2023 - License CC3