Identiteit van Euler

Euler's identiteit, ook wel Euler's vergelijking genoemd, is deze vergelijking:

e i π + 1 = 0 {\\pi }+1=0} {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

  • π {\\pi} {\displaystyle \pi }pi

π ≈ 3.14159 {\\pi \\\\\\159} {\displaystyle \pi \approx 3.14159}

e ≈ 2.71828 {\\\\\\\\\\} {\displaystyle e\approx 2.71828}

ı = √ - 1 \\\\\imath = \surd {-1} {\displaystyle \imath =\surd {-1}}

Euler's identiteit is vernoemd naar de Zwitserse wiskundige Leonard Euler. Het is niet duidelijk dat hij het zelf heeft uitgevonden.

Respondenten van een opiniepeiling van de Fysische Wereld noemden de identiteit "de meest diepgaande wiskundige verklaring ooit geschreven", "griezelig en subliem", "gevuld met kosmische schoonheid" en "geestverruimend".




Wiskundig bewijs van Euler's Identiteit met behulp van Taylor Series

Veel vergelijkingen kunnen worden geschreven als een reeks van termen bij elkaar opgeteld. Dit wordt een Taylor-reeks genoemd

De Exponentiële functie e x {displaystyle e ^x}{\displaystyle e^{x}} kan worden geschreven als de Taylor-reeks

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \Over... \Over... \Over 4! Ccdots =sum... \Over n!} {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}

Ook kan Sine worden geschreven als

zonde x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\\\\sin {x}=x-{x^{3} \Meer dan 3! \Meer dan 5! \meer dan 7! Ccdots =sum... \Over! {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}}

en Cosine als

cos x = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\\\\cos {x}=1-{x^{2} \Meer dan 2! + 4. \Meer dan 4! \Meer dan 6! Ccdots = £0... \Over! {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}

Hier zien we een patroon vorm krijgen. e x {\playstyle e^{x}{\displaystyle e^{x}} lijkt een som van sinus en cosinus' Taylor Series te zijn, behalve als alle tekens in positieve zin zijn veranderd. De identiteit die we eigenlijk bewijzen is e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\playstyle e^{ix}=cos(x)+isin(x)} {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}.

Dus, aan de linkerzijde is e i x {\\\\\\\\ {\displaystyle e^{ix}}waarvan de Taylor-serie 1 + i x - x 2 2 is! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! {\\\playstyle 1+ix-{x^{2} \Meer dan 2! \Meer dan 3! \Meer dan 4! \Meer dan vijf!} {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }

We zien hier een patroon, dat elke tweede term i keer sinus is, en dat de andere termen cosinus zijn.

Aan de rechterzijde is cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)}, waarvan de Taylor-serie de Taylor-serie van cosinus is, plus i keer de Taylor-serie van sinus, die kan worden weergegeven als:

) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ) {\\\\2} + (1-x {2} over 2!}+ (x \4} {\cdots} + (ix-{3} over 3!}+ (ix- \5} over 5!}cdots}) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )}

als we deze bij elkaar optellen, hebben we

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! {\\\\\\\\\\\ \Meer dan 2! \Meer dan 3! \Meer dan 4! \Meer dan vijf!} {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }

Daarom:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\\\\ix}=cos(x)+iSin(x)} {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}

Als we nu x vervangen door π {\\pi } {\displaystyle \pi }We hebben...

  • e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\\pi }=cos(ipi) + i sin(ipi) } {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}

Dan weten we dat

  • omdat ( π ) = - 1 {\\\\pi} {\displaystyle \cos(\pi )=-1}

en

  • zonde ( π ) = 0 {\\\\pi} {\displaystyle \sin(\pi )=0}

Daarom:

  • e i π = 0 - 1 {\\pi }=0-1} {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
  • e i π + 1 = 0 {\\pi }+1=0} {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

QED


AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3