Taylorreeks

De Oudgriekse filosoof Zeno van Elea kwam als eerste op het idee van deze reeks. De paradox genaamd "Zeno's parodox" is het resultaat. Hij geloofde dat het onmogelijk zou zijn om een oneindig aantal waarden op te tellen en als resultaat één eindige waarde te krijgen.

Een andere Griekse filosoof, Aristoteles, kwam met een antwoord op de filosofische vraag. Het was echter Archimedes die met een wiskundige oplossing kwam door gebruik te maken van zijn methode van uitputting. Hij kon bewijzen dat wanneer iets wordt opgesplitst in een oneindig aantal kleine stukjes, deze nog steeds één geheel vormen wanneer ze allemaal worden samengevoegd. De oude Chinese wiskundige Liu Hui bewees enkele honderden jaren later hetzelfde.

De vroegst bekende voorbeelden van de Taylorreeks zijn het werk van Mādhava van Sañgamāgrama in India in de jaren 1300. Latere Indiase wiskundigen schreven over zijn werk met de goniometrische functies van sinus, cosinus, tangens en arctangens. Geen van Mādhava's geschriften of verslagen bestaan vandaag de dag nog. Andere wiskundigen baseerden hun werk op Mādhava's ontdekkingen en werkten meer met deze reeksen tot de jaren 1500.

James Gregory, een Schotse wiskundige, werkte op dit gebied in de jaren 1600. Gregory bestudeerde de Taylor-reeks en publiceerde verschillende Maclaurin-reeksen. In 1715 ontdekte Brook Taylor een algemene methode om de reeks op alle functies toe te passen. (Al het eerdere onderzoek toonde hoe de methode alleen op specifieke functies kon worden toegepast). Colin Maclaurin publiceerde in de jaren 1700 een speciaal geval van de Taylor-reeks. Deze reeks, die rond nul is gebaseerd, wordt de Maclaurin reeks genoemd.

Een Taylorreeks kan worden gebruikt om een functie ƒ(x) te beschrijven die een gladde functie is (of, in wiskundige termen, "oneindig differentieerbaar".) De functie ƒ kan reëel of complex zijn. De Taylorreeks wordt dan gebruikt om te beschrijven hoe de functie eruit ziet in de buurt van een getal a.

Deze Taylor-reeks, geschreven als een machtreeks, ziet er zo uit:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots . }

Deze formule kan ook in sigma notatie geschreven worden als:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}},(x-a)^{n}}

Hierin is n! de factorie van n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) is de n-de afgeleide van ƒ in het punt a. a {afgeleide a} is een getal in het domein van de functie. Als de Taylorreeks van een functie gelijk is aan die functie, heet de functie een "analytische functie".

Maclaurin serie

Wanneer a = 0 {\a6 a=0} wordt de functie een Maclaurinreeks genoemd. De Maclaurin reeks geschreven als een machtreeks ziet er zo uit:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots . }

Geschreven in sigma notatie, is de Maclaurin serie:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}},x^{n}}

Enkele belangrijke Taylor-reeksen en Maclaurin-reeksen zijn de volgende.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ voor alle x {\displaystyle \sin x=sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\dots{ voor alle }}x}! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ voor alle x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}{2!}}+{\frac {x^{4}{4!}}-{\dots}{ voor alle }}x}! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 voor alle x {Displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{text{ voor alle }}x}! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n voor alle x {Displaystyle \cosh(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{text{voor alle }}x! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ voor alle x {\displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+{\dots}{ voor alle}x^{n! }

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ voor alle | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {text{ voor alle }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n voor alle | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=sum _{n=1}^{infty }{frac {(-1)^{n+1}}{n}x^{n}{text{voor alle }}|x|<1}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ voor | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {text{ voor }}|x|<{\frac {\pi}{2}}}! }

Waarbij B n {\displaystyle B_{n}} het n-de Bernoulli getal is, en ln {\displaystyle \ln } is de natuurlijke logaritme.