Fibonacci-nummer

De Fibonacci getallen zijn een reeks getallen in de wiskunde genoemd naar Leonardo van Pisa, bekend als Fibonacci. Fibonacci schreef een boek in 1202, genaamd Liber Abaci ("Boek van de berekening"), die het nummer patroon geïntroduceerd in de West-Europese wiskunde, hoewel wiskundigen in India al wist over.

Het eerste getal van het patroon is 0, het tweede getal is 1, en elk getal daarna is gelijk aan het optellen van de twee getallen vlak voor het patroon. Bijvoorbeeld 0+1=1 en 3+5=8. Deze reeks gaat eeuwig door.

Dit kan worden geschreven als een herhalingsrelatie,

F n = F n - 1 + F n - 2 {\playstyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}} {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}

Om dit zinvol te maken, moeten ten minste twee uitgangspunten worden gegeven. Hier, F 0 = 0 {\playstyle F_0}=0} {\displaystyle F_{0}=0}en F 1 = 1 {\playstyle F_1}=1}{\displaystyle F_{1}=1} .

Een Fibonacci-spiraal die ontstaat door een lijn te trekken door de vierkanten in de Fibonacci-tegels; deze gebruikt vierkanten met de maten 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 en 34; zie Gouden spiraal.
Een Fibonacci-spiraal die ontstaat door een lijn te trekken door de vierkanten in de Fibonacci-tegels; deze gebruikt vierkanten met de maten 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 en 34; zie Gouden spiraal.

Fibonacci-nummers in de natuur

Fibonacci getallen zijn gerelateerd aan de gulden snede, die op veel plaatsen in gebouwen en in de natuur te zien is. Enkele voorbeelden zijn het patroon van de bladeren op een stengel, de delen van een ananas, de bloei van een artisjok, het ontkrullen van een varen en de rangschikking van een dennenappel. De Fibonacci nummers zijn ook terug te vinden in de stamboom van de honingbijen.

Zonnebloemenkop met bloemen in spiralen van 34 en 55 rond de buitenkant
Zonnebloemenkop met bloemen in spiralen van 34 en 55 rond de buitenkant

Binet's Formule

Het n-de Fibonacci getal kan worden geschreven in termen van de gulden snede. Dit voorkomt dat de recursie gebruikt moet worden om Fibonacci getallen te berekenen, wat een computer lang kan duren.

F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\\\\\phi {n}={frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}} {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}

Waarbij φ = 1 + 5 2 {\\varphi ={frac {1+{sqrt {5}}} {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}de gulden snede.


AlegsaOnline.com - 2020 - 2021 - License CC3