Gulden snede
Met een getal a en een ander kleiner getal b wordt de verhouding van de twee getallen gevonden door ze te delen. Hun verhouding is a/b. Een andere verhouding wordt gevonden door de twee getallen bij elkaar op te tellen en te delen door het grotere getal a. De nieuwe verhouding is (a+b)/a. Als deze twee verhoudingen gelijk zijn aan hetzelfde getal, dan wordt dat getal de gulden snede genoemd. De Griekse letter φ 
(phi) wordt meestal gebruikt als naam voor de gulden snede.
Bijvoorbeeld, als b = 1 en a/b = φ dan is a = φ {\displaystyle . De tweede verhouding (a+b)/a is dan 
. Omdat deze twee verhoudingen gelijk zijn, is dit waar:
Een manier om dit getal te schrijven is
is een getal dat, wanneer het met zichzelf wordt vermenigvuldigd, 5 maakt: 
.
De gulden snede wordt een irrationeel getal genoemd. Dat betekent dat als iemand het probeert te schrijven, het nooit zal stoppen en nooit een patroon zal maken, maar het zal zo beginnen: 1.6180339887... Een belangrijk aspect van dit getal is dat als u er 1 van aftrekt of er 1 door deelt, u hetzelfde getal krijgt.
Gouden rechthoek
Als de lengte van een rechthoek gedeeld door de breedte gelijk is aan de gulden snede, dan is de rechthoek een "gulden rechthoek". Als een vierkant wordt afgesneden van een uiteinde van een gouden rechthoek, dan is het andere uiteinde een nieuwe gouden rechthoek. In de afbeelding is de grote rechthoek (blauw en roze samen) een gouden rechthoek omdat 
. Het blauwe deel (B) is een vierkant, en het roze deel alleen (A) is weer een gouden rechthoek omdat 
. De grote rechthoek en de roze rechthoek hebben dezelfde vorm, maar de roze rechthoek is kleiner en is gedraaid.
De grote rechthoek BA is een gulden rechthoek; dat wil zeggen, de verhouding b:a is 1: . Voor een dergelijke rechthoek, en alleen voor rechthoeken van die specifieke verhouding, geldt dat als we vierkant B verwijderen, wat overblijft, A, weer een gouden rechthoek is; dat wil zeggen, met dezelfde verhoudingen als de oorspronkelijke rechthoek.
Fibonacci getallen
De getallen van Fibonacci zijn een lijst van getallen. Iemand kan het volgende getal in de lijst vinden door de laatste twee getallen bij elkaar op te tellen. Als iemand een getal in de lijst deelt door het getal dat ervoor kwam, komt deze verhouding steeds dichter bij de gulden snede.
| Fibonacci getal | gedeeld door de vorige | verhouding |
| 1 | ||
| 1 | 1/1 | = 1.0000 |
| 2 | 2/1 | = 2.0000 |
| 3 | 3/2 | = 1.5000 |
| 5 | 5/3 | = 1.6667 |
| 8 | 8/5 | = 1.6000 |
| 13 | 13/8 | = 1.6250 |
| 21 | 21/13 | = 1.6154... |
| 34 | 34/21 | = 1.6190... |
| 55 | 55/34 | = 1.6177... |
| 89 | 89/55 | = 1.6182... |
| ... | ... | ... |
| | = 1.6180... |
Gulden snede in de natuur
In de natuur wordt de gulden snede vaak gebruikt voor de rangschikking van bladeren of bloemen. Deze maken gebruik van de gouden hoek van ongeveer 137,5 graden. Bladeren of bloemen die in die hoek zijn gerangschikt, maken het best gebruik van het zonlicht.
Bovendien zijn de afstand tussen het midden van iemands lichaam en de vloer en de afstand tussen de kruin van het hoofd en de basis van de wervelkolom beide in overeenstemming met de gulden snede. Ondanks de afwezigheid ervan in gangbare architectuur- en ontwerppatronen, wordt Leonardo Fibonacci's bevinding algemeen erkend als baanbrekend. Het kan de vorm aannemen van orkanen, slagtanden van olifanten, mieren, zee-egels, zeesterren, honingbijen en vele andere dingen.
De Fibonacci-reeks begint met 0 en gaat oneindig door: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Aan elk cijfer gaat een som van twee cijfers vooraf. Het patroon zelf is tamelijk elementair en onopvallend.
Dat is totdat je leert dat deze verhouding ten grondslag ligt aan de schoonheid van de Mona Lisa, de menselijke ledematen, gegevenscodering en zelfs het aantal spiralen op de kop van een zonnebloem. Het lijkt erop dat het universum een natuurlijke manier heeft om getallen bij te houden.
Bloemen hebben altijd een oneven aantal bloemblaadjes volgens de Fibonacci-reeks. Zo heeft de vredeslelie drie bloemblaadjes, boterbloemen vijf, cichorei 21, madeliefjes 34, enzovoort.
Hier zijn nog enkele natuurlijke voorbeelden van de Gulden Snede:
Zaadkoppen. Bloemen produceren zaden in hun kern, die vervolgens naar buiten spiraalsgewijs het bloemhoofdje vullen.
Ananas, bloemkool en Romanesco broccoli. Ook deze voldoen aan de Fibonacci-reeks.
Dennenappels. Dennenappels hebben spiraalpatronen op hun zaaddozen, met twee spiralen op elke kegel die tijdens de groei in tegengestelde richting groeien.
Takken van een boom. In de natuur is dit patroon te zien wanneer een boom een tak ontwikkelt en zich vervolgens splitst in twee nieuwe groeipunten. Vervolgens zal slechts één van de twee nieuwe stammen actief groeien, terwijl de andere slapend blijft liggen.
Methoden voor het vliegen van vogels. De beste aanvalshoek van de havik staat loodrecht op de vliegbaan van het doelwit, wat overeenkomt met de verticale hoek van de spiraal.
Spiraalstelsels. Er zijn verschillende spiraalarmen in de Melkweg, elk met een logaritmische spiraal van ongeveer 12 graden.
Als u de gouden hoek gebruikt, wordt het licht van de zon optimaal benut. Dit is een uitzicht vanaf de top.
Een blad van klimop, met de gulden snede
Vragen en antwoorden
V: Wat is de verhouding tussen twee getallen?
A: De verhouding van twee getallen wordt gevonden door ze te delen, dus is de verhouding a/b.
V: Hoe kan een andere verhouding worden gevonden?
A: Een andere verhouding kan worden gevonden door de twee getallen bij elkaar op te tellen en dan deze som te delen door het grotere getal, a. Deze nieuwe verhouding zou (a+b)/a zijn.
V: Wat is de naam voor wanneer deze twee verhoudingen gelijk zijn aan elkaar?
A: Wanneer deze twee verhoudingen gelijk zijn aan elkaar, wordt dit de gulden snede genoemd. Deze wordt meestal weergegeven met de Griekse letter צ of phi.
V: Als b = 1 en a/b = צ , wat betekent dat dan voor a?
Antwoord: Als b = 1 en a/b = צ , dan betekent dat dat a ook צ is.
V: Hoe kan men dit getal schrijven?
Antwoord: Een manier om dit getal te schrijven is צ = 1 + 5 / 2 = 1,618...
V: Wat betekent het als u er 1 van aftrekt of er 1 door deelt?
A: Als u er 1 van aftrekt of er 1 door deelt, krijgt u hetzelfde getal terug - met andere woorden, beide zijn gelijk aan de gulden snede.
V: Is de gulden snede een irrationeel getal?
A: Ja, de gulden snede is een irrationeel getal, wat betekent dat als iemand het probeert uit te schrijven, er nooit een einde en geen patroon zal zijn - alleen beginnend met iets als "1,6180339887...".
