Gumbel verdeling

Eigenschappen

De Gumbel-verdeling is een continue kansverdeling. Gumbel-verdelingen zijn een familie van verdelingen met dezelfde algemene vorm. Deze verdelingen verschillen in hun plaats- en schaalparameters: het gemiddelde ("gemiddelde") van de verdeling bepaalt de plaats, en de standaardafwijking ("variabiliteit") bepaalt de schaal.

Men herkent de Gumbel kansdichtheidsfunctie (PDF) en de Gumbel cumulatieve verdelingsfunctie (CDF).

PDF

In de PDF wordt de waarschijnlijkheid P van een waarde V tussen de grenzen A en B, kortweg geschreven als P(A<V<B), gevonden door het gebied onder de PDF-curve tussen A en B.

Voorbeeld van waarschijnlijkheid in de PDF

In de figuur van de normale kansdichtheidsfunctie moeten de waarden op de horizontale as respectievelijk luiden: μ-3σ, μ-2σ, μ-1σ, μ+1σ, μ+2σ, en μ+3σ. μ = gemiddelde, σ = standaardafwijking. De oppervlakten onder de curve in de intervallen, elk met een breedte van één standaardafwijking, geven de kans op voorkomen in die intervallen.  Voorbeeld: de kans dat een waarde V voorkomt in het interval tussen A=μ+1σ en B=μ+2σ is P(μ+1σ<V<μ+2σ)=13,6% of 0,136

In tegenstelling tot de normale verdeling is de Gumbel-PDF a-symmetrisch en scheef naar rechts.

CDF

In de CDF wordt de kans dat een waarde V kleiner is dan A direct gevonden als de CDF-waarde bij A:

P ( V ≤ A ) = C D F ( A ) {P(V ≤ A)=CDF(A)} .

Voorbeeld van waarschijnlijkheid in de CDF

In de Gumbel CDF-figuur geeft de rode curve aan dat de kans dat V kleiner is dan 5 0,9 (of 90%) is, terwijl die kans voor de donkerblauwe lijn 0,7 of 70% is.

 
De normale waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie (PDF) is symmetrisch.  

Wiskunde

De CDF

De wiskundige uitdrukking van de CDF is:

C D F ( A ) = e - e - ( A - μ ) / β , {Displaystyle CDF(A)=e^{-e^{-(A -mu )/\beta },}.

waarin μ de modus is (de waarde waar de kansdichtheidsfunctie zijn piek bereikt), e een wiskundige constante, ongeveer 2,718, en β een waarde die verband houdt met de standaardafwijking (σ) :

β = σ 6 / π , {\beta = \sigma {sqrt {6}} / π , }

waarbij π het Griekse symbool voor Pi is, waarvan de waarde dicht bij 22/7 of 3,142 ligt, en het symbool {{displaystyle}} staat voor de vierkantswortel.

Modus en mediaan

De modus μ kan worden gevonden uit de mediaan M, zijnde de waarde van A waarbij CDF(A)=0,5, en β:

μ = M + β ln ( ln 2 ) , {Displaystyle \mu =M+\beta \ln \left(\ln 2\right),}.

waarbij ln de natuurlijke logaritme is.

Gemiddelde

Het gemiddelde, E(x), gegeven door:

E ( x ) = μ + c β , {displaystyle {E} (x)= μ + c β , }

waarbij c = Euler-constante ≈. 0.5772.

 
Er zijn twee gegevensreeksen: rood en blauw. Beide hebben hetzelfde gemiddelde: 100, maar de blauwe groep heeft een grotere standaardafwijking (SD=σ=50) dan de rode groep (SD=σ=10).  

Schatting

In een gegevensreeks kunnen de parameters modus (μ) en β worden geschat uit het gemiddelde, de mediaan en de standaardafwijking. De berekening van de laatste drie grootheden wordt uitgelegd in de respectieve Wiki-pagina's. Vervolgens kunnen met behulp van de in het vorige hoofdstuk gegeven formules de factoren μ en β worden berekend. Zo kan de CDF van de bij de gegevens behorende Gumbel-verdeling worden bepaald en kan de waarschijnlijkheid van interessante gegevenswaarden worden gevonden.

 
Cumulatieve Gumbel-verdeling van de maximale eendaagse regenval in oktober met behulp van CumFreq  

Toepassing

In de hydrologie wordt de Gumbel-verdeling gebruikt voor het analyseren van variabelen als maandelijkse en jaarlijkse maximumwaarden van dagelijkse neerslag en rivierafvoer, en ook voor het beschrijven van droogteperioden.

De blauwe afbeelding illustreert een voorbeeld van de aanpassing van de Gumbel-verdeling aan de gerangschikte maximale eendaagse regenval in oktober, waarbij ook de 90%-betrouwbaarheidsgordel op basis van de binomiale verdeling wordt getoond.