Eigenwaarden en eigenvectoren
In de lineaire algebra wordt gesproken over soorten functies die transformaties worden genoemd. In die context is een eigenvector een vector - verschillend van de nulvector - die in de transformatie niet van richting verandert (behalve als de transformatie de vector in de tegenovergestelde richting draait). De vector kan van lengte veranderen, of nul worden ("nul"). De eigenwaarde is de waarde van de lengteverandering van de vector. Het woord "eigen" is een Duits woord, en betekent "zijn eigen".
Illustratie van een transformatie (van de Mona Lisa): De afbeelding wordt zo veranderd dat de rode pijl (vector) niet van richting verandert, maar de blauwe wel. De rode vector is dus een eigenvector van deze transformatie, de blauwe niet. Aangezien de rode vector niet van lengte verandert, is zijn eigenwaarde 1. De gebruikte transformatie heet shear mapping.
Basics
Indien er een vierkante matrix A, een scalair λ en een niet-nulvector v bestaat, dan is λ de eigenwaarde en v de eigenvector als aan de volgende vergelijking is voldaan:
A v = λ v . {\displaystyle A \mathbf {v} = \lambda \mathbf {v},. } 
Met andere woorden, als matrix A maal de vector v gelijk is aan de scalair λ maal de vector v, dan is λ de eigenwaarde van v, waarbij v de eigenvector is.
Een eigenruimte van A is de verzameling van alle eigenvectoren met dezelfde eigenwaarde, samen met de nulvector. De nulvector is echter geen eigenvector.
Deze ideeën worden vaak uitgebreid tot meer algemene situaties, waarin scalaren elementen zijn van een willekeurig veld, vectoren elementen van een willekeurige vectorruimte, en lineaire transformaties al dan niet kunnen worden voorgesteld door matrixvermenigvuldiging. Bijvoorbeeld, in plaats van reële getallen kunnen scalaren complexe getallen zijn; in plaats van pijlen kunnen vectoren functies of frequenties zijn; in plaats van matrixvermenigvuldiging kunnen lineaire transformaties operatoren zijn zoals de afgeleide uit de calculus. Dit zijn slechts enkele van de talloze voorbeelden waarbij eigenvectoren en eigenwaarden belangrijk zijn.
In dergelijke gevallen verliest het idee van richting zijn gewone betekenis en krijgt het een abstractere definitie. Maar zelfs in dit geval, als die abstracte richting onveranderd blijft door een bepaalde lineaire transformatie, wordt het voorvoegsel "eigen" gebruikt, zoals in eigenfunctie, eigenmodus, eigenoppervlak, eigentoestand en eigenfrequentie.
Eigenwaarden en eigenvectoren kennen vele toepassingen in zowel de zuivere als de toegepaste wiskunde. Zij worden gebruikt bij de factorisatie van matrices, in de kwantummechanica, gezichtsherkenningssystemen en op vele andere gebieden.
Voorbeeld
Voor de matrix A
A = [ 2 1 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}. } 
de vector
x = [ 3 - 3 ] {\mathbf {x} ={{begin{bmatrix}3{bmatrix}}}. 
is een eigenvector met eigenwaarde 1. Inderdaad,
A x = [ 2 1 1 2 ] [ 3 - 3 ] = [ ( ( 2 ⋅ 3 ) + ( 1 ⋅ ( - 3 ) ) ( 1 ⋅ 3 ) + ( 2 ⋅ ( - 3 ) ) ] = [ 3 - 3 ] = 1 ⋅ [ 3 - 3 ] . {\displaystyle A\mathbf {x} ={begin{bmatrix}2&1&1&2{bmatrix}}{begin{bmatrix}3{bmatrix}}={begin{bmatrix}(2{bmatrix 3)+(1{bmatrix (-3))+(2{bmatrix (-3))^).3))\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}3\\-3\end{bmatrix}}. } 
Anderzijds is de vector
x = [ 0 1 ] {\mathbf {x} ={{begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}}}. 
is geen eigenvector, want
[ 2 1 1 2 ] [ 0 1 ] = [ ( 2 ⋅ 0 ) + ( 1 ⋅ 1 ) ( 1 ⋅ 0 ) + ( 2 ⋅ 1 ) ] = [ 1 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&1\\1& 2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(2\cdot 0)+(1\cdot 1)\\(1\cdot 0)+(2\cdot 1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}. } 
en deze vector is geen veelvoud van de oorspronkelijke vector x.
Vragen en antwoorden
V: Wat is lineaire algebra?
A: Lineaire algebra is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de studie van vectorruimten en lineaire transformatie.
V: Wat is een eigenvector?
A: Een eigenvector is een vector die niet van richting verandert nadat hij een transformatie heeft ondergaan, behalve als de transformatie hem in de tegenovergestelde richting draait.
Vraag: Wat betekent de term "nulvector"?
A: Een nulvector is een vector van nul lengte of grootte.
V: Wat is een eigenwaarde?
A: Een eigenwaarde is de waarde van de verandering in lengte van een eigenvector na het ondergaan van een transformatie.
V: Wat is de betekenis van de eigenwaarde in lineaire algebra?
A: De eigenwaarde speelt een cruciale rol in lineaire algebra omdat het helpt bij het bepalen van de eigenschappen van de transformatie.
V: Wat is de oorsprong van het woord "eigen"?
A: Het woord "eigen" komt uit het Duits en betekent "eigen" of "typisch".
V: Kan een eigenvector een nulvector worden na een transformatie?
A: Ja, een eigenvector kan een nulvector worden na een transformatie.
