Vector (wiskunde)

A vector

Een vector is een wiskundig object dat een grootte, magnitude genaamd, en een richting heeft.

Een vector zou bijvoorbeeld gebruikt worden om de afstand en de richting aan te geven waarin iets zich verplaatst. Als je de weg vraagt en iemand zegt: "Loop een kilometer naar het noorden", dan is dat een vector. Als hij zegt "Loop een kilometer", zonder een richting aan te geven, dan is dat een scalair.

Meestal tekenen we vectoren als pijlen. De lengte van de pijl is evenredig met de grootte van de vector. De richting waarin de pijl wijst is de richting van de vector.

Voorbeelden van vectoren

  • Jan loopt 20 meter naar het noorden. De richting "noord" samen met de afstand "20 meter" is een vector.
  • Een appel valt met 10 meter per seconde naar beneden. De richting "naar beneden" gecombineerd met de snelheid "10 meter per seconde" is een vector. Dit soort vectoren wordt ook wel snelheid genoemd.

Voorbeelden van scalars

  • De afstand tussen twee plaatsen is 10 kilometer. Deze afstand is geen vector omdat hij geen richting heeft.
  • Het aantal vruchten in een doos is geen vector.
  • Een wijzende persoon is geen vector omdat er alleen een richting is. Er is geen grootheid (de afstand van de vinger van de persoon tot een gebouw, bijvoorbeeld).
  • De lengte van een voorwerp.
  • Een auto rijdt met 100 kilometer per uur. Dit is geen beschrijving van een vector, want er is alleen een magnitude, maar geen richting.

Meer voorbeelden van vectoren

  • Verplaatsing is een vector. Verplaatsing is de afstand die iets in een bepaalde richting aflegt. Een maat voor de afstand alleen is een scalair.
  • Kracht die richting omvat is een vector.
  • Snelheid is een vector, want het is een snelheid in een bepaalde richting.
  • Versnelling is de snelheid waarmee de snelheid verandert. Een voorwerp versnelt als het van snelheid verandert of van richting verandert.

Hoe vectoren toe te voegen

Vectoren op papier toevoegen met de kop-staart methode

De kop-staart methode om vectoren op te tellen is handig om op papier een schatting te maken van het resultaat van het optellen van twee vectoren. Zo doe je dat:

  • Elke vector wordt getekend als een pijl met daarachter een hoeveelheid lengte, waarbij elke lengte-eenheid op het papier een bepaalde grootte van de vector voorstelt.
  • Teken de volgende vector, met de staart(einde) van de tweede vector aan de kop(voorkant) van de eerste vector.
  • Herhaal dit voor alle volgende vectoren: Teken de staart van de volgende vector aan het hoofd van de vorige.
  • Trek een lijn van de staart van de eerste vector naar de top van de laatste vector - dat is de resultante (som) van alle vectoren.

Het wordt de "Kop tot staart"-methode genoemd, omdat elke kop van de vorige vector leidt naar de staart van de volgende.

Componentenformulier gebruiken

[moet worden uitgelegd]

De componentvorm gebruiken om twee vectoren op te tellen betekent letterlijk de componenten van de vectoren optellen om een nieuwe vector te maken. Stel bijvoorbeeld dat a en b twee tweedimensionale vectoren zijn. Deze vectoren kunnen geschreven worden in termen van hun componenten.

a = ( a x , a y ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})} {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{x},a_{y})}

b = ( b x , b y ) {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})} {\displaystyle \mathbf {b} =(b_{x},b_{y})}

Stel dat c de som is van deze twee vectoren, dus dat c = a + b. Dit betekent dat c = ( a x + b x , a y + b y ) {displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})}{\displaystyle \mathbf {c} =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} .

Hier is een voorbeeld van optelling van twee vectoren, gebruik makend van hun componentvormen.

a = ( 3 , - 1 ) {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)} {\displaystyle \mathbf {a} =(3,-1)}

b = ( 2 , 2 ) {\displaystyle \mathbf {b} =(2,2)} {\displaystyle \mathbf {b} =(2,2)}

c = a + b {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} } {\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} }

= ( a x + b x , a y + b y ) {Displaystyle =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} {\displaystyle =(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})}

= ( 3 + 2 , - 1 + 2 ) {\displaystyle =(3+2,-1+2)} {\displaystyle =(3+2,-1+2)}

= ( 5 , 1 ) {\displaystyle =(5,1)} {\displaystyle =(5,1)}

Deze methode werkt voor alle vectoren, niet alleen voor tweedimensionale.

Kop-staart toevoeging
Kop-staart toevoeging

Hoe vectoren te vermenigvuldigen

Met behulp van het scalair product

Het scalair product is een methode om vectoren te vermenigvuldigen. Het levert een scalair op. Het gebruikt de componentvorm:

a = ( 2 , 3 ) b = ( 1 , 4 ) a b = ( 2 , 3 ) ( 1 , 4 ) = ( 2 1 ) + ( 3 4 ) = 2 + 12 = 14 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} =(2,3)\mathbf {b} =(1,4)\\\}} \cdot \mathbf {b} =(2,3)\cdot (1,4)\=(2,1)+(3,4)\=2+12=14}} {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} =(2,3)\\\mathbf {b} =(1,4)\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(2,3)\cdot (1,4)\\=(2\cdot 1)+(3\cdot 4)\\=2+12=14\end{aligned}}}

Met behulp van het kruisproduct

Het kruisproduct is een andere methode om vectoren te vermenigvuldigen. Het levert een andere vector op. Gebruik de componentvorm:

a × b = | a | | b | sin ( θ ) n {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} |mathbf {b} |sin(\theta )\mathbf {n} } {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )\mathbf {n} }

Hier betekent a de lengte van een {\displaystyle |mathbf {a} |}{\displaystyle |\mathbf {a} |} betekent de lengte van a {\displaystyle \mathbf {a}} } {\displaystyle \mathbf {a} }en n is de eenheidsvector die loodrecht op de a-as staat. {\displaystyle \mathbf {n} }is de eenheidsvector die loodrecht staat op zowel a {\displaystyle \mathbf {a}} als b {\displaystyle \mathbf {n}} } {\displaystyle \mathbf {a} }en b {\displaystyle \mathbf {b}} } {\displaystyle \mathbf {b} }.

Vermenigvuldigen met een scalair

Om een vector met een scalair (een gewoon getal) te vermenigvuldigen, vermenigvuldigt men het getal met elke component van de vector:

c x = ( c x 1 , c x 2 , . . . , c x n ) {\displaystyle c\,mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})} {\displaystyle c\,\mathbf {x} =(c\,x_{1},c\,x_{2},...,c\,x_{n})}

Een voorbeeld hiervan is

c = 5 x = ( 3 , 4 ) c x = ( 5 3 , 5 4 ) = ( 15 , 20 ) {\displaystyle {\begin{aligned}c=5\mathbf {x} =(3,4)\c,\mathbf {x} =(5 3,5 ⋅ 4)\=(15,20)\end{aligned}} {\displaystyle {\begin{aligned}c=5\\\mathbf {x} =(3,4)\\c\,\mathbf {x} =(5\cdot 3,5\cdot 4)\\=(15,20)\end{aligned}}}

Verwante pagina's

  • Vectorafbeeldingen
  • Vector veld

AlegsaOnline.com - 2020 / 2021 - License CC3