Wat is de zetafunctie van Riemann?
De Riemann zetafunctie is een soort functie. Functies zijn dingen in de wiskunde zoals vergelijkingen. Functies nemen getallen op en geven andere getallen terug. Dit is hetzelfde als hoe u een antwoord terugkrijgt als u een vraag stelt. Het getal dat u invoert heet een "input". Het getal dat u terugkrijgt heet een "waarde". Elke invoer die u in de Riemann zetafunctie stopt, geeft u een speciale waarde terug. Meestal krijgt u voor elke invoer een andere waarde. Maar elke invoer geeft u dezelfde waarde telkens wanneer u hem gebruikt. Zowel de invoer die u geeft, als de waarde die u krijgt van de Riemann zetafunctie zijn speciale getallen die complexe getallen worden genoemd. Een complex getal is een getal met twee delen, een reëel deel en een imaginair deel. Het imaginaire deel wordt imaginair genoemd omdat u zich zo'n getal als i {{2}
} moet "voorstellen" dat bij vermenigvuldiging met zichzelf gelijk is aan i 2 = i × i = - 1 {{{2}=i=-1}
. Omdat volgens de regels van de rekenkunde ( - ) × ( - ) = ( + )
en ( + ) × ( + ) = ( + )
zo'n getal niet kan bestaan, moet het worden verzonnen. Imaginaire getallen worden veel gebruikt in de wiskunde; zonder deze getallen zouden veel technologieën niet mogelijk zijn. Een concreet voorbeeld: om met de kwadratische formule bepaalde vergelijkingen op te lossen, moet het antwoord soms een imaginair getal zijn.
Wat is een niet-triviale wortel?
Soms, wanneer u een ingang in de Riemann zetafunctie stopt, krijgt u het getal nul terug. Wanneer dit gebeurt, noem je die invoer een wortel van de Riemann zetafunctie. Je noemt de invoer een "wortel" als hij nul oplevert. Er zijn veel wortels gevonden. Maar sommige wortels zijn gemakkelijker te vinden dan andere. Wij noemen de wortels "triviaal" of "niet-triviaal". Wij noemen een wortel "triviaal" als hij gemakkelijk te vinden is. Maar we noemen een wortel "niet-triviaal" als hij moeilijk te vinden is. De triviale wortels zijn getallen die "negatieve even gehele getallen" worden genoemd. De reden waarom wij denken dat ze gemakkelijk zijn, is omdat ze gemakkelijk te vinden zijn. Er zijn nette regels die zeggen wat de triviale wortels zijn. Wij weten wat de triviale wortels zijn vanwege de vergelijking die Bernhard Riemann gaf. Die vergelijking werd "Riemanns functionele vergelijking" genoemd.
Hoe vinden we niet-triviale wortels?
De niet-triviale wortels zijn moeilijker te vinden. Ze hebben niet dezelfde nette regels die zeggen wat ze zijn. Hoewel ze moeilijk te vinden zijn, zijn er veel niet-triviale wortels gevonden. Vergeet niet dat de waarde van de zetafunctie van Riemann een soort getal is dat een complex getal wordt genoemd. En vergeet niet dat complexe getallen uit twee delen bestaan. Een van die delen heet het "reële deel". We hebben iets interessants opgemerkt over het reële deel van de niet-triviale wortels. Alle niet-triviale wortels die wij hebben gevonden, hebben een reëel deel dat hetzelfde getal is. Dit getal is 1/2, wat een breuk is. Dit brengt ons bij de grote vraag van Riemann, die gaat over hoe groot de reële delen zijn. De vraag is "hebben alle niet-triviale wortels reëel deel 1/2?", en de hypothese zegt dat het antwoord ja is. Wij proberen er nog achter te komen of het antwoord "ja" of "nee" is.
