Riemann-hypothese | wiskundige vraag

De Riemann-hypothese is een wiskundig vraagstuk (vermoeden). Veel mensen denken dat het vinden van een bewijs van de hypothese een van de moeilijkste en belangrijkste onopgeloste problemen van de zuivere wiskunde is. Zuivere wiskunde is een vorm van wiskunde die gaat over het denken over wiskunde. Dit is iets anders dan proberen wiskunde in de echte wereld toe te passen. Het antwoord op de Riemann-hypothese is "ja" of "nee".

Het vermoeden is genoemd naar een man genaamd Bernhard Riemann. Hij leefde in de jaren 1800. De Riemann-hypothese stelt een vraag over een speciaal ding dat de zetafunctie van Riemann wordt genoemd.

Als het antwoord op de vraag "ja" is, zou dit betekenen dat wiskundigen meer kunnen weten over priemgetallen. In het bijzonder zou het hen helpen te weten hoe zij priemgetallen kunnen vinden. De Riemann-hypothese is zo belangrijk, en zo moeilijk te bewijzen, dat het Clay Mathematics Institute $1.000.000 heeft uitgeloofd aan de eerste persoon die deze bewijst.

De Riemann zetafunctie, in het complexe vlak. Het reële deel Re ( s ) {Re} (s)} $\operatorname {Re} (s)$ van het getal is horizontaal getekend, het imaginaire deel Im ( s ) {Im} (s)} $\operatorname {Im} (s)$ verticaal. Witte stippen tonen de nullen waar Re ( s ) = 1 2 {Displaystyle \operatorname {Re} (s)={tfrac {1}{2}}} $\operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}$ . Klik voor een volledige weergave.

Wat is de Riemann-hypothese?

Wat is de zetafunctie van Riemann?

De Riemann zetafunctie is een soort functie. Functies zijn dingen in de wiskunde zoals vergelijkingen. Functies nemen getallen op en geven andere getallen terug. Dit is hetzelfde als hoe u een antwoord terugkrijgt als u een vraag stelt. Het getal dat u invoert heet een "input". Het getal dat u terugkrijgt heet een "waarde". Elke invoer die u in de Riemann zetafunctie stopt, geeft u een speciale waarde terug. Meestal krijgt u voor elke invoer een andere waarde. Maar elke invoer geeft u dezelfde waarde telkens wanneer u hem gebruikt. Zowel de invoer die u geeft, als de waarde die u krijgt van de Riemann zetafunctie zijn speciale getallen die complexe getallen worden genoemd. Een complex getal is een getal met twee delen, een reëel deel en een imaginair deel. Het imaginaire deel wordt imaginair genoemd omdat u zich zo'n getal als i {{2} $i$ } moet "voorstellen" dat bij vermenigvuldiging met zichzelf gelijk is aan i 2 = i × i = - 1 {{{2}=i=-1} $i^{2}=i\times i=-1$ . Omdat volgens de regels van de rekenkunde ( - ) × ( - ) = ( + ) $(-)\times (-)=(+)$ en ( + ) × ( + ) = ( + ) $(+)\times (+)=(+)$ zo'n getal niet kan bestaan, moet het worden verzonnen. Imaginaire getallen worden veel gebruikt in de wiskunde; zonder deze getallen zouden veel technologieën niet mogelijk zijn. Een concreet voorbeeld: om met de kwadratische formule bepaalde vergelijkingen op te lossen, moet het antwoord soms een imaginair getal zijn.

Wat is een niet-triviale wortel?

Soms, wanneer u een ingang in de Riemann zetafunctie stopt, krijgt u het getal nul terug. Wanneer dit gebeurt, noem je die invoer een wortel van de Riemann zetafunctie. Je noemt de invoer een "wortel" als hij nul oplevert. Er zijn veel wortels gevonden. Maar sommige wortels zijn gemakkelijker te vinden dan andere. Wij noemen de wortels "triviaal" of "niet-triviaal". Wij noemen een wortel "triviaal" als hij gemakkelijk te vinden is. Maar we noemen een wortel "niet-triviaal" als hij moeilijk te vinden is. De triviale wortels zijn getallen die "negatieve even gehele getallen" worden genoemd. De reden waarom wij denken dat ze gemakkelijk zijn, is omdat ze gemakkelijk te vinden zijn. Er zijn nette regels die zeggen wat de triviale wortels zijn. Wij weten wat de triviale wortels zijn vanwege de vergelijking die Bernhard Riemann gaf. Die vergelijking werd "Riemanns functionele vergelijking" genoemd.

Hoe vinden we niet-triviale wortels?

De niet-triviale wortels zijn moeilijker te vinden. Ze hebben niet dezelfde nette regels die zeggen wat ze zijn. Hoewel ze moeilijk te vinden zijn, zijn er veel niet-triviale wortels gevonden. Vergeet niet dat de waarde van de zetafunctie van Riemann een soort getal is dat een complex getal wordt genoemd. En vergeet niet dat complexe getallen uit twee delen bestaan. Een van die delen heet het "reële deel". We hebben iets interessants opgemerkt over het reële deel van de niet-triviale wortels. Alle niet-triviale wortels die wij hebben gevonden, hebben een reëel deel dat hetzelfde getal is. Dit getal is 1/2, wat een breuk is. Dit brengt ons bij de grote vraag van Riemann, die gaat over hoe groot de reële delen zijn. De vraag is "hebben alle niet-triviale wortels reëel deel 1/2?", en de hypothese zegt dat het antwoord ja is. Wij proberen er nog achter te komen of het antwoord "ja" of "nee" is.

Wat weten we tot nu toe?

We weten het antwoord op de vraag nog niet. Maar we kennen wel een aantal goede feiten. Deze feiten kunnen ons helpen. Er is een manier waarop we feiten kunnen vinden over de reële delen van de niet-triviale wortels. Dit is met de speciale vergelijking van Riemann (de functionele vergelijking van Riemann). De functionele vergelijking van Riemann vertelt ons over de grootte van de reële delen. Zij zegt dat alle niet-triviale nulpunten een reëel deel in de buurt van 1/2 hebben. Het zegt hoe klein de reële delen kunnen zijn, en hoe groot ze kunnen zijn. Maar het zegt niet precies wat ze zijn. Er staat met name dat de reële delen groter moeten zijn dan 0. Maar ze moeten kleiner zijn dan 1. Maar we weten nog steeds niet of er een niet-triviale wortel kan zijn met een reëel deel dat heel dicht bij 1/2 ligt. Misschien is die er wel, maar hebben we hem nog niet gevonden. De groep complexe getallen met een reëel deel groter dan 0 maar kleiner dan 1 wordt de "kritische strook" genoemd.

De Riemann-hypothese in een afbeelding

De afbeelding in de rechterbovenhoek van deze pagina toont de zetafunctie van Riemann. De niet-triviale wortels zijn weergegeven met de witte stippen. Het lijkt alsof ze allemaal op een lijn liggen in het midden van het plaatje. Ze liggen niet te ver naar links en niet te ver naar rechts. Het gaat erom hoe ver u van links naar rechts zit. Dat ze in het midden van het plaatje staan, betekent dat ze een reëel deel van 1/2 hebben. Dus alle niet-triviale wortels in het plaatje hebben een reëel deel van 1/2. Maar ons plaatje laat niet alles zien, want de Riemann zetafunctie is te groot om te laten zien. Hoe zit het dan met de niet-triviale wortels boven en onder het plaatje? Zouden die ook in het midden liggen? Wat als ze het patroon van in het midden liggen doorbreken? Ze zouden iets naar links of rechts kunnen liggen. De Riemannhypothese vraagt of elke niet-triviale wortel (witte stip) op de lijn in het midden zou liggen. Als het antwoord nee is, zeggen we dat de "hypothese onjuist is". Dit zou betekenen dat er witte punten zijn die niet op de gegeven lijn liggen.

Vragen en antwoorden

V: Wat is de Riemann-hypothese?

A: De Riemannhypothese is een wiskundige vraag (conjectuur) die een vraag stelt over een speciaal ding dat de Riemann zetafunctie wordt genoemd.

V: Op welk type wiskunde heeft de Riemann-hypothese betrekking?

A: De Riemann-hypothese houdt verband met zuivere wiskunde, een vorm van wiskunde waarbij het gaat om het denken over wiskunde, en niet om het proberen te vertalen naar de werkelijkheid.

V: Wie was Bernhard Riemann?

A: Bernhard Riemann was een man die leefde in de jaren 1800 en wiens naam is gegeven aan dit vermoeden.

V: Wat zou het resultaat zijn als iemand de Riemann-hypothese kon bewijzen?

A: Als iemand de Riemann-hypothese zou kunnen bewijzen, zouden wiskundigen meer weten over priemgetallen en hoe ze te vinden.

V: Hoeveel geld is er geboden voor het bewijs van dit vermoeden?

A: Het Clay Mathematics Institute heeft $1.000.000 geboden voor het bewijs van deze conjectuur.

V: Is er slechts één antwoord voor deze conjectuur?

A: Ja, er zijn slechts twee mogelijke antwoorden voor deze conjectuur - "ja" of "nee".