Distributiviteit

Schrijver: Leandro Alegsa

28-02-2021

Verdeling is een begrip uit de algebra: het geeft aan hoe binaire bewerkingen moeten worden afgehandeld. Het eenvoudigste geval is dat van optellen en vermenigvuldigen van getallen. Bijvoorbeeld, in rekenkunde:

2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), maar 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3).

In het linkerlid van de eerste vergelijking vermenigvuldigt de 2 de som van 1 en 3; in het rechterlid vermenigvuldigt hij de 1 en de 3 afzonderlijk, waarbij de producten daarna worden opgeteld. Omdat deze hetzelfde eindantwoord geven (8), zegt men dat de vermenigvuldiging met 2 zich verdeelt over de optelling van 1 en 3. Aangezien men om het even welk reëel getal in de plaats van 2, 1 en 3 had kunnen stellen, en toch een echte vergelijking had kunnen krijgen, zegt men dat vermenigvuldiging van reële getallen uitdeelt over optelling van reële getallen.

Definitie

Gegeven een verzameling $S$ en twee binaire operatoren ∗ en + op $S$ , zeggen we dat de operatie:

∗ is linksverdelend over + als, gegeven alle elementen $x, y$ , en $z$ van $S$ ,

x ∗ ( y + z ) = ( x ∗ y ) + ( x ∗ z ) , {Displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z),} $x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$

∗ is rechtsverdelend over + als, gegeven alle elementen $x, y$ , en $z$ van $S$ ,

( y + z ) ∗ x = ( y ∗ x ) + ( z ∗ x ) , {Stijl (y+z)*x=(y*x)+(z*x),} $(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$ en

∗ is distributief over + als het links- en rechts-distributief is. Merk op dat wanneer ∗ commutatief is, de drie bovenstaande voorwaarden logisch equivalent zijn.

Applcaties

De distributieve eigenschap kan ook worden toegepast op:

Reële getallen
Complexe getallen
Matrices (speciale regels van toepassing)
Vectoren (speciale regels van toepassing)
Sets
Voorwaardelijke logica

Vragen en antwoorden

V: Wat is verdeling in algebra?

A: Verdeling is een begrip in de algebra dat beschrijft hoe binaire operaties zoals optellen en vermenigvuldigen worden behandeld.

V: Kunt u een voorbeeld geven van verdeling in de rekenkunde?

A: Ja, een voorbeeld van verdeling in de rekenkunde is 2 ⋅ (1 + 3) = (2 ⋅ 1) + (2 ⋅ 3), waarbij aan de linkerkant de 2 de som van 1 en 3 vermenigvuldigt, terwijl aan de rechterkant de 2 de 1 en de 3 afzonderlijk vermenigvuldigt, waarna de producten worden opgeteld.

V: Waarom is het begrip verdeling belangrijk in algebra?

A: Het begrip verdeling is belangrijk in algebra omdat het helpt om vergelijkingen te vereenvoudigen en ze gemakkelijker op te lossen.

V: Verdeelt de vermenigvuldiging over de optelling van alle reële getallen?

A: Ja, vermenigvuldiging van reële getallen verdeelt over optelling van reële getallen, wat betekent dat men alle reële getallen op de plaats zou kunnen zetten van de waarden in de vergelijking die wordt gebruikt voor het voorbeeld van verdeling in de rekenkunde en nog steeds een echte vergelijking krijgt.

V: Is optellen in alle gevallen verdelend over vermenigvuldigen?

A: Nee, optelling is niet in alle gevallen distributief over vermenigvuldiging; dit geldt alleen voor bepaalde groepen getallen, zoals reële getallen.

V: Kunt u een voorbeeld geven waar distributie niet geldt?

A: Ja, een tegenvoorbeeld waarbij de verdeling niet opgaat is 2 / (1 + 3) ≠ (2 / 1) + (2 / 3). In dit geval is de linker vergelijking niet gelijk aan de rechter vergelijking omdat deling niet verdeelt over optelling.

V: Hoe is verdeling van toepassing op binaire bewerkingen?

A: Verdeling is in de algebra specifiek van toepassing op binaire bewerkingen zoals optellen en vermenigvuldigen, waarbij wordt beschreven hoe de bewerkingen moeten worden uitgevoerd als er meer dan één operand bij betrokken is.