Wetten van Maxwell

Maxwell's Vergelijkingen in de klassieke vormen

Naam	Differentiële vorm	Integrale vorm
De wet van Gauss:	∇ ⋅ D = ρ {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} = \rho }	∮ S D ⋅ d A = ∫ V ρ ⋅ d V {\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} = {\int _{V}
De wet van Gauss voor magnetisme (afwezigheid van magnetische monopolen):	∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}	∮ S B ⋅ d A = 0 {{\displaystyle \oint _{S}} \dot d\mathbf {A} =0}
Faraday's wet van inductie:	∇ × E = - ∂ B ∂ t {\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\mathbf {B}} {\partieel t}}	∮ C E ⋅ d l - ∮ C B × v ⋅ d l = - d t ∫ S B ⋅ d A {\displaystyle oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} -\punt _{C}\mathbf {B} \tijden \mathbf {v} \cdot d{\mathbf {l} }=-[d over dt}]-[punt _{S}]{mathbf {B} \cdot d{\mathbf {A}} }
De wet van Ampère (met Maxwell's uitbreiding):	∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\nablaftijdstip} = {\mathbf {H} = {\mathbf {J} +{\frac {\mathbf {D}} }{\partieel t}}	∮ C H ⋅ d l = ∫ S J ⋅ d A + ∫ S ∂ D ∂ t ⋅ d A {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} = \int _{S}\mathbf {J} + punt +int _{S}{\frac {\partieel \mathbf {D}} }{\partieel t}} \cdot d\mathbf {A}} }

waarbij de volgende tabel de betekenis van elk symbool en de SI-meeteenheid geeft:

Symbool	Betekenis:	SI Meeteenheid
E {\displaystyle \mathbf {E} }	elektrisch veld	volt per meter
H {\displaystyle \mathbf {H} }	magnetische veldsterkte	ampère per meter
D {\displaystyle \mathbf {D} }	elektrisch verplaatsingsveld	coulomb per vierkante meter
B {\displaystyle \mathbf {B} }	magnetische fluxdichtheid ook wel de magnetische inductie genoemd.	tesla, of gelijkwaardig, weber per vierkante meter
ρ {\an5}	vrije elektrische ladingsdichtheid, de in een materiaal gebonden dipoolladingen niet meegerekend.	coulomb per kubieke meter
J }	vrije stroomdichtheid, polarisatie- of magnetisatiestromen die in een materiaal gebonden zijn, niet meegerekend.	ampère per vierkante meter
d A {\displaystyle d\mathbf {A} }	differentieel vectorelement van oppervlakte A, met zeer kleine magnitude en richting loodrecht op oppervlak S	vierkante meters
d V {Displaystyle dV\}	differentieel element van volume V ingesloten door oppervlak S	kubieke meters
d l {\displaystyle d\mathbf {l} }	differentieel vectorelement van padlengte tangentieel aan contour C die het oppervlak omsluit c	meters
v {\displaystyle \mathbf {v} }	momentane snelheid van het lijnelement d l {\displaystyle d\mathbf {l} } zoals hierboven gedefinieerd (voor bewegende kringen).	meter per seconde

en

∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } is de divergentieoperator (SI-eenheid: 1 per meter),

∇ × {\displaystyle \nabla \times } is de krommingsoperator (SI-eenheid: 1 per meter).

De betekenis van de vergelijkingen

Ladingdichtheid en het elektrisch veld

∇ ⋅ D = ρ\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} = \rho } ,

waarin ρ {\displaystyle {\rho }} de vrije elektrische ladingsdichtheid is (in eenheden van C/m3), de in een materiaal gebonden dipool ladingen niet meegerekend, en D {\displaystyle \mathbf {D} is het elektrisch verplaatsingsveld (in eenheden van C/m2). Deze vergelijking is als de wet van Coulomb voor niet-bewegende ladingen in vacuüm.

De volgende integraalvorm (volgens de divergentie-theorema), ook bekend als de wet van Gauss, zegt hetzelfde:

∮ A D ⋅ d A = Q ingesloten {{A}} \cdot d\mathbf {A} =Q_{\text{enclosed}}

d A {\displaystyle d\mathbf {A}} } is de oppervlakte van een differentiaalvierkant op het gesloten oppervlak A. De naar buiten wijzende oppervlaknormaal is de richting, en Q ingesloten {\displaystyle Q_{text{enclosed}}} is de vrije lading die zich binnen het oppervlak bevindt.

In een lineair materiaal is D {\displaystyle \mathbf {D} direct gerelateerd aan het elektrisch veld E {\displaystyle \mathbf {E}}met een constante die de permittiviteit ε wordt genoemd. (Deze constante is verschillend voor verschillende materialen):

D = ε E {D =varepsilon \mathbf {E}} } .

Je kunt doen alsof een materiaal lineair is, als het elektrisch veld niet erg sterk is.

De permittiviteit van de vrije ruimte wordt ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} genoemd. en wordt in deze vergelijking gebruikt:

∇ ⋅ E = ρ t ε 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{t}}{varepsilon _{0}}}}

Hierin is E {\displaystyle \mathbf {E} weer het elektrisch veld (in eenheden van V/m), ρ t de totale ladingsdichtheid (inclusief de gebonden ladingen), en ε 0varepsilon _{0}(ongeveer 8.854 pF/m) is de permittiviteit van de vrije ruimte. Men kan ε {\displaystyle \varepsilon _{0}} ook schrijven als ε 0 ⋅ ε r {\displaystyle \varepsilon _{0}} . Hierin is ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} de permittiviteit van het materiaal in vergelijking met de permittiviteit van de vrije ruimte. Dit wordt de relatieve permittiviteit of diëlektrische constante genoemd.

Zie ook de vergelijking van Poisson.

De structuur van het magnetisch veld

∇ ⋅ B = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}

B } is de magnetische fluxdichtheid (in eenheden van tesla, T), ook wel de magnetische inductie genoemd.

Deze volgende integrale vorm zegt hetzelfde:

∮ A B ⋅ d A = 0 {{A}} \cdot d\mathbf {A} =0}

De oppervlakte van d A {\displaystyle d\mathbf {A} } is de oppervlakte van een differentiaalvierkant op het oppervlak A {\displaystyle A} . De richting van d A {\displaystyle d\mathbf {A}} } is de oppervlaktenormaal die naar buiten wijst op het oppervlak van A {{\displaystyle A}} .

Deze vergelijking werkt alleen als de integraal wordt gedaan over een gesloten oppervlak. Deze vergelijking zegt, dat in elk volume de som van de magnetische veldlijnen die naar binnen gaan gelijk is aan de som van de magnetische veldlijnen die naar buiten gaan. Dit betekent dat de magnetische veldlijnen gesloten lussen moeten zijn. Een andere manier om dit te zeggen is dat de veldlijnen niet ergens kunnen beginnen. Dit is de wiskundige manier om te zeggen: "Er zijn geen magnetische monopolen".

Een veranderende magnetische flux en het elektrisch veld

∇ × E = - ∂ B ∂ t {\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\mathbf {B}} {\partieel t}}

Deze volgende integrale vorm zegt hetzelfde:

∮ s E ⋅ d s = - d Φ B d t {\displaystyle \oint _{s}\mathbf {E} ◒ d {mathbf {s} =-{\frac {d\Phi _{\mathbf {B}} }}{dt}}

Hierin is Φ B = ∫ A B ⋅ d A {\displaystyle \Phi _{\mathbf {B}} =int _{A}}}{mathbf {B} d³{A}} }

Dit is wat de symbolen betekenen:

ΦB is de magnetische flux die door het gebied A gaat dat in de tweede vergelijking wordt beschreven,

E is het elektrisch veld dat de magnetische flux veroorzaakt,

s is een gesloten pad waarin stroom wordt geïnduceerd, bijvoorbeeld een draad,

v is de momentane snelheid van het lijnelement (voor bewegende stroomkringen).

De elektromotorische kracht is gelijk aan de waarde van deze integraal. Soms wordt dit symbool gebruikt voor de elektromotorische kracht: E}}, niet verwarren met het symbool voor permittiviteit dat eerder werd gebruikt. verwar het niet met het symbool voor de permittiviteit dat eerder werd gebruikt.

Deze wet is als Faraday's wet van elektromagnetische inductie.

In sommige handboeken wordt het rechterteken van de integraalvorm weergegeven met een N (N is het aantal draadspoelen dat zich rond de rand van A bevindt) voor de fluxafgeleide. Met de N kan rekening worden gehouden bij de berekening van A (meerdere draadspoelen betekent meerdere oppervlakken voor de flux om doorheen te gaan), en het is een technisch detail, dus wordt het hier weggelaten.

Het negatieve teken is nodig voor het behoud van energie. Het is zo belangrijk dat het zelfs een eigen naam heeft, de wet van Lenz.

Deze vergelijking laat zien hoe de elektrische en magnetische velden met elkaar te maken hebben. Deze vergelijking verklaart bijvoorbeeld hoe elektromotoren en elektrische generatoren werken. In een motor of generator heeft de veldkring een vast elektrisch veld dat een magnetisch veld veroorzaakt. Dit wordt vaste bekrachtiging genoemd. De variërende spanning wordt gemeten over de ankerschakeling. De vergelijkingen van Maxwell worden gebruikt in een rechtshandig coördinatenstelsel. Om ze te gebruiken in een linksdraaiend stelsel, zonder de vergelijkingen te moeten veranderen, moet de polariteit van de magnetische velden tegengesteld worden gemaakt (dit is niet verkeerd, maar het is verwarrend omdat het gewoonlijk niet zo wordt gedaan).

De bron van het magnetisch veld

∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\nablaftijdstip} = {\mathbf {H} = {\mathbf {J} +{\frac {\mathbf {D}} }{\partieel t}}

H is de magnetische veldsterkte (in eenheden van A/m), die men verkrijgt door de magnetische flux B te delen door een constante die men de permeabiliteit μ noemt (B = μH), en J is de stroomdichtheid, gedefinieerd door:

J = ∫ρqvdA

v is een vectorveld dat de driftsnelheid wordt genoemd. Het beschrijft de snelheden van de ladingsdragers die een dichtheid hebben die wordt beschreven door de scalaire functie ρq.

In de vrije ruimte is de permeabiliteit μ de permeabiliteit van de vrije ruimte, μ0, die per definitie precies 4π×10-7 W/A-m bedraagt. Ook de permittiviteit is de permittiviteit van de vrije ruimte ε0. Dus, in de vrije ruimte is de vergelijking:

∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =mu _{0}\mathbf {J} + {mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partiële \mathbf {E}} t}}}

De volgende integrale vorm zegt hetzelfde:

∮ s B ⋅ d s = μ 0 I omcirkeld + μ 0 ε 0 ∫ A ∂ E ∂ t ⋅ d A {displaystyle \punt _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} = {mu _{0}I_{\text{encircled}}+\mu _{0}varepsilon _{0} {int _{A}{\frac {\partieel \mathbf {E}} t}}}}}}}}}}}}}}}} }

s is de rand van het open oppervlak A (elk oppervlak met de kromme s als rand is hier goed), en Iencircled is de stroom omcirkeld door de kromme s (de stroom door elk oppervlak is gedefinieerd door de vergelijking: Idoor _A = ∫AJ-dA).

Als de elektrische fluxdichtheid niet erg snel verandert, is de tweede term aan de rechterkant (de verplaatsingsflux) erg klein en kan worden weggelaten, en dan is de vergelijking dezelfde als de wet van Ampere.

Covariante formulering

Er zijn slechts twee covariante Maxwell-vergelijkingen, omdat de covariante veldvector het elektrische en het magnetische veld omvat.

Wiskundige noot: In dit deel zal de abstracte indexnotatie worden gebruikt.

In de speciale relativiteit worden de vergelijkingen van Maxwell voor het vacuüm geschreven in termen van vier-vectoren en tensoren in de "manifest covariante" vorm. Dit is gedaan om duidelijker te laten zien dat de vergelijkingen van Maxwell (in vacuüm) dezelfde vorm hebben in elk inertiaalcoördinatensysteem. Dit is de "manifest covariante" vorm:

J b = ∂ a F a b {\displaystyle J^{b}=partiële _{a}F^{ab},\! } ,

en

0 = ∂ c F a b + ∂ b F c a + ∂ a F b c {Displaystyle 0=_partieel _{c}F_{ab}+_partieel _{a}F_{bc}}+_partieel _{b}F_{bc}}

De tweede vergelijking is dezelfde als:

0 = ε d a b c ∂ a F b c {{displaystyle 0=\varepsilon _{dabc}},^{a}F^{bc},\! }

Hierin is J a {{ab}} de 4-stroom, F a b {{ab}} de veldsterktetensor (geschreven als een 4 × 4 matrix), ε a b c d {{abcd}} het Levi-Civita symbool, en ∂ a = ( ∂ / ∂ c t , ∇ ) {\displaystyle /\partial _{a}=(\partial ct,\nabla )} is de 4-gradiënt (zodat ∂ a ∂ a {\displaystyle \partial _{a}}^{a}} de d'Alembertiaanse operator is). (De a {{a}} in de eerste vergelijking is impliciet gesommeerd, volgens de Einstein-notatie). De eerste tensorvergelijking zegt hetzelfde als de twee inhomogene vergelijkingen van Maxwell: De wet van Gauss en de wet van Ampere met de correctie van Maxwell. De tweede vergelijking zegt hetzelfde als de andere twee vergelijkingen, de homogene vergelijkingen: Faraday's wet van inductie en de afwezigheid van magnetische monopolen.

J a {{a}} kan ook explicieter met deze vergelijking worden beschreven: J a = ( c ρ , J → ) {\displaystyle J^{a}=(c\rho , {\vec {J}})} (als een contravariante vector), waarbij je J a {{a}} krijgt uit de ladingsdichtheid ρ en de stroomdichtheid J → {{a}}}. . De 4-stroom is een oplossing van de continuïteitsvergelijking:

J a , a = 0 {Displaystyle J^{a}{}_{,a},=0}

In termen van de 4-potentiaal (als een contravariante vector) A a = ( φ , A → c ) {Displaystyle A^{a}=(φ), waarbij φ de elektrische potentiaal is en A → {Displaystyle {\vec {A}}} de magnetische vectorpotentiaal in de Lorentz-ijking ( ∂ a A a = 0 ∂ 0 ∂ 0 ∂ 0 ∂ 0 ∂ 0 ∂ 0 A a a = 0 0 waarbij φ de elektrische potentiaal is en A → {\displaystyle {\vec {A}}} de magnetische vectorpotentiaal in de Lorentz-ijking ( ∂ a A a = 0 ) {\displaystyle \left(\dentiaal _{a}A^{a}=0}rechts)} kan F geschreven worden als:

F a b = ∂ b A a - ∂ a A b {Displaystyle F^{ab}= ^{b}A^{a}- ^{a}A^{b},\! }

wat leidt tot de 4 × 4 matrix rang-2 tensor:

F a b = ( 0 - E x c - E y c - E z c E x c 0 - B z B y E y c B z 0 - B x E z c - B y B x 0 ) . {\displaystyle F^{ab}= links({begin{matrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right). }

Het feit dat zowel elektrische als magnetische velden in één tensor zijn gecombineerd, toont aan dat, volgens de relativiteit, beide verschillende delen van hetzelfde ding zijn-door van referentiekader te veranderen, kan wat in het ene kader een elektrisch veld lijkt, in een ander kader een magnetisch veld lijken, en omgekeerd.

Gebruik makend van de tensorvorm van Maxwells vergelijkingen, impliceert de eerste vergelijking

◻ F a b = 0 {Displaystyle \Box F^{ab}=0} (Zie Elektromagnetische vierpotentiaal voor het verband tussen de d'Alembertiaan van de vierpotentiaal en de vierstroom, uitgedrukt in termen van de oudere vectoroperatornotatie).

Verschillende auteurs gebruiken soms verschillende tekenconventies voor deze tensoren en 4-vectoren (maar dit verandert niets aan wat ze bedoelen).

F a b {{ab}} en F a b {{ab}} zijn niet hetzelfde: ze zijn verwant door de Minkowski-metrische tensor η {{ab}}: F a b = η a c η b d F c d {{ab}} . Dit verandert het teken van sommige componenten van F; complexere metrische dualiteiten zijn te zien in de algemene relativiteit.