Spiraal

Een spiraal is een speciale kromme in de wiskunde. Deze kromme begint in een punt, en gaat dan om het punt heen, maar raakt er steeds verder van verwijderd. Dit is anders dan een cirkel (die altijd op dezelfde afstand staat) of een ellips. Een spiraal is een "open" kromme, in tegenstelling tot cirkels en ellipsen die gesloten krommen zijn.

Uitsnede van een nautilusschelp met de kamers in een ongeveer logaritmische spiraal.

Tweedimensionale spiralen

Een tweedimensionale spiraal kan het gemakkelijkst worden beschreven met behulp van poolcoördinaten. Daar is de straal r een continue monotone functie van hoek θ (theta). De cirkel zou als een ontaard geval worden beschouwd. Bij de cirkel zou de functie niet strikt monotoon zijn, maar constant.

Enkele van de belangrijkste soorten tweedimensionale spiralen zijn:

De Archimedische spiraal: r = a + bθ
De Euler spiraal, Cornu spiraal of clothoid
De spiraal van Fermat: r = θ^1/2
De hyperbolische spiraal: r = a/θ
De lituus: r = θ^-1/2
De logaritmische spiraal: r = ab^θ ; benaderingen hiervan worden in de natuur gevonden
De spiraal van Fibonacci en de gulden spiraal: speciale gevallen van de logaritmische spiraal
De spiraal van Theodorus: een benadering van de Archimedische spiraal bestaande uit aaneengesloten rechthoekige driehoeken.

Archimedische spiraal

Cornu spiraal

Fermat's spiraal

hyperbolische spiraal

lituus

logaritmische spiraal

spiraal van Theodorus

Driedimensionale spiralen

Voor eenvoudige 3-dimensionale spiralen is een derde variabele, h (hoogte), ook een continue, monotone functie van θ. Zo kan een kegelvormige helix worden gedefinieerd als een spiraal op een kegelvormig oppervlak, waarbij de afstand tot de top een exponentiële functie van θ is.

De helix en de vortex kunnen worden gezien als een soort driedimensionale spiraal.

Voor een helix met dikte, zie veer (wiskunde).

In de natuur

Christopher Wren ontdekte dat veel schelpen een logaritmische spiraal vormen. Jan Swammerdam observeerde de gemeenschappelijke wiskundige kenmerken van een breed scala van schelpen, van Helix tot Spirula, en Henry Nottidge Moseley beschreef de wiskunde van eencellige schelpen. In On Growth and Form van D'Arcy Wentworth Thompson worden deze spiralen uitgebreid behandeld. Hij beschrijft hoe schelpen worden gevormd door een gesloten kromme om een vaste as te draaien, waarbij de vorm van de kromme vast blijft, maar de grootte ervan in een geometrische progressie toeneemt. Bij sommige schelpen, zoals Nautilus en ammonieten, draait de genererende kromme in een vlak loodrecht op de as en vormt de schelp een vlakke schijfvorm. Bij andere volgt hij een scheef pad en vormt hij een spiraalvormig patroon.

Thompson bestudeerde ook spiralen die voorkomen in hoorns, tanden, klauwen en planten.

Spiralen in planten en dieren worden vaak beschreven als spiralen.

Een model voor het bloempatroon in de kop van een zonnebloem is voorgesteld door H Vogel. Dit heeft de vorm

θ = n × 137,5 ∘ , r = c n {{displaystyle \theta =n keer 137,5^{{\circ },\r=c{{sqrt {n}}}}. $\theta =n\times 137.5^{\circ },\ r=c{\sqrt {n}}$

waarbij n {{displaystyle n} het indexcijfer van de bloem is en c {{displaystyle c} $c$ een constante schaalfactor, en een vorm van de spiraal van Fermat. De hoek 137,5° is gerelateerd aan de gulden snede en geeft een dichte pakking van bloemetjes.

De spiraal staat ook voor oneindigheid. Beginnend bij een enkel punt, en naar buiten draaiend tot het einde van het universum. Daarom geloven sommige beschavingen dat de spiraal een weg is naar het hiernamaals.

De 53e plaat uit Ernst Haeckels Kunstformen der Natur (1904), met organismen die zijn ingedeeld bij de Prosobranchia (waarvan nu bekend is dat ze polyfyletisch zijn).

Als symbool

De spiraal speelt een belangrijke rol in de symboliek. Hij komt voor in de megalithische kunst, met name in de tombe van Newgrange of in veel Galicische rotstekeningen zoals die in Mogor. Zie ook drievoudige spiraal.

Geleerden praten nog steeds over het onderwerp, maar velen van hen geloven nu dat de eenvoudige spiraal in de Chinese kunst een symbool van de zon kan zijn. Dakpannen uit de Tang-dynastie met dit symbool zijn gevonden ten westen van de oude stad Chang'an (het huidige Xian).

De spiraal is het oudste symbool dat op elk beschaafd continent te vinden is. Omdat hij op begraafplaatsen over de hele wereld voorkomt, stond de spiraal waarschijnlijk voor de cyclus "leven-dood-wedergeboorte". Evenzo symboliseerde de spiraal de zon, omdat de oude mensen dachten dat de zon elke ochtend werd geboren, elke nacht stierf en de volgende ochtend werd herboren.

Spiralen staan ook symbool voor hypnose. Dit komt waarschijnlijk door het cliché van mensen en stripfiguren die gehypnotiseerd worden door in een draaiende spiraal te staren (een voorbeeld is Kaa in Disney's The Jungle Book). Ze worden ook gebruikt als symbool van duizeligheid, waar de ogen van een stripfiguur, vooral in anime en manga. De spiraal symboliseert de dubbele helixstructuur van DNA, die de biologische evolutie voorstelt, en de spiraalstructuur van een sterrenstelsel.

De toegangsplaat van Newgrange